gleichmäßige-/punktweise Konvergenz

07.03.2012, 13:37	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige-/punktweise Konvergenz Meine Frage: Hallo, Ich verstehe nicht ganz, wie man gleichmäßige oder punktweise Konvergenz nachweißt. Die anschaulichen Bedeutungen sind mir denke ich klar: Das ganze gilt ja nur bei Funktionenfolgen, oder? Punktweise Konvergenz bedeutet, dass für bestimmte x-Werte sich der y-wert für n-> Unendlich einer Grenzfunktion annähert. Bei der gleichmäßigen Konvergenz nähert sich die Ganze Funktion in einer Art "Schlauch" mehr und mehr der Grenzfunktion an. Stimmt das soweit? Jetzt muss ich bei 3 Funktionen prüfen, ob sie im Intervall [0,1] gleichmäßig konvergent sind: $\begin{eqnarray} <br /> f_{n}(x)= (sin(\pi x))^{n}<br /> g_{n}(x)= e^{-nx +1} (sin(n\pi x))^{n}<br /> h_{n}(x)=(2+sin(\pi x))^{-n}<br /> \end{eqnarray}$ Allerdings habe ich wirklich keinen Plan, wie ich das jetzt machen soll... könnte mir da jemand einen Tipp geben? Ist jede Funktionenfolge, die nicht gleichmäßig konvergiert, punktweise konvergent? Wenn nein wäre es auch interessant zu wissen, wie man punktweise Konvergenz nachweist. Viele Grüße Nima93 Meine Ideen: Ich habe mich schon mehrmals länger damit beschäftigt, aber weder alte Forenbeiträge noch diverse Bücher haben mir weitergeholfen... Meist geht es dort nur um die anschauliche Bedeutung, nicht um den Nachweis.
07.03.2012, 13:40	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige-/punktweise Konvergenz In diesem Thread gleichmäßige konvergenz findet sich eine anschauliche Erklärung für gleichmäßige und punktweise Konvergenz. Versuch das mal mit der Folge $\begin{eqnarray} f_n(x)= \sin^n(\pi x) \end{eqnarray}$ analog zu rechnen. Und auch hier gilt: Man kann sich erst einmal ein paar Funktionen der Folge anschauen:
07.03.2012, 15:06	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke! den Thread hatte ich wohl übersehen...
07.03.2012, 15:42	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das heißt ich muss im Prinzip nur schauen, ob der Limes für n -> Unendlich für alle Werte existiert, oder? Und ich muss überlegen, welche Punkte nicht konvergieren. fn(x) strebt für n->unendlich im Allgemeinen ja gegen 0, nur die Hochpunkte bleiben auf gleicher Höhe. Daher müsste die Funktionenfolge doch eigentlich nur punkteweise konvergent sein. Stimmt das soweit?
07.03.2012, 16:52	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn er für alle festen x existiert, dann ist die Folge punktweise konvergent, existiert er "für die Funktionen als ganzes", dann ist die Folge gleichmäßig konvergent. Von welcher Folge sprichst du jetzt?
07.03.2012, 17:52	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
von fn(x) rede ich. hm, gut, so grob versteh ich das jetzt glaub ich... zumindest haben die Übungsaufgaben, die ich gemacht habe, gestimmt... aber ich habe da jetzt was gelesen von wegen man soll sich, sofern existent, allgemeine Extremwerte einer Funktion der Funktionenfolge anschauen und prüfen, ob diese ebenfalls konvergieren. Wenn nicht habe ich nur punktweise Konvergenz. Was ich nur nicht ganz verstehe: es könnte ja sein, dass die Funktionenfolge gegen eine Funktion strebt, in der das Maximum schon enthalten ist. Dann müsste die Folge doch trotzdem gleichmäßig konvergieren, obwohl sich am Maximum nichts ändert, oder?
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07.03.2012, 18:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht ja auch darum, das Maximum der Differenz der beiden Funktionen zu betrachten, also die Abstandsfunktion $\begin{eqnarray} d_n(x)=\|f_n(x)-f(x)\| \end{eqnarray}$ zu maximieren.
07.03.2012, 20:56	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, ok, das hab ich mittlerweile glaub ich auch geblickt Wenn ich vor der Klausur noch Zeit hab, vertief ich das vll noch ein bisschen... Also danke auf jeden Fall!! Was würde ich nur ohne dieses Forum machen...

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