L-infty Fehler der L2-Projektion

07.03.2012, 13:46	morgueboss	Auf diesen Beitrag antworten »
L-infty Fehler der L2-Projektion Meine Frage: Hallo, ich stehe vor einem Problem, um einen Beweis abzuschließen, der so speziell ist, dass ich bislang in der Fachliteratur keine exemplarische Vorgehensweise finden konnte und mich dementsprechend selber dranmachen muß. Konkret geht es um eine Banachraum-Interpolation, zu deren Anwendung mir noch ein Schritt fehlt (falls dieser überhaupt möglich ist). Es geht um den L-\infty Fehler der L2-Projektion, \|\|u - Pu\|\|_\infty und ich würde diesen am liebsten gegen den L2-Fehler der L2-Projektion abschätzen, also praktisch $\begin{eqnarray} \|\| u - Pu \|\|_\infty \leq c \cdot \|\| u - Pu \|\|_2. \end{eqnarray}$ Ist so etwas möglich? Vielen Dank für Hinweise und Ideen Meine Ideen: Ich habe in Brenner/Scott einen Ansatz gefunden, um mit diesem Schritt meine gewünschte Banachrauminterpolation abschließen zu können und hoffe nun auf den fehlenden Baustein, alles zusammensetzen zu können.
07.03.2012, 19:20	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich glaube, hier fehlen noch Infos. z.B. was projiziert P wohin? Einfach auf irgendeinen beliebigen (abgeschlossenen) Teilraum? Wenn ja, dann betrachte z.B. mal $\begin{eqnarray} L^2 ([0,1]) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P: L^2 \to L^2, \quad Pv = \langle v, 1\rangle \cdot 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u = x^{-1/4} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \\| u - Pu\\|_\infty \end{eqnarray}$ unbeschränkt (da Pu konstant ist und u nicht in $\begin{eqnarray} L^\infty \end{eqnarray}$ ), aber der $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ -Abstand ist natürlich beschränkt.
08.03.2012, 13:42	morgueboss	Auf diesen Beitrag antworten »
Mist, ja ich hab gestern nachdem ichs abgeschickt hatte auch noch dran gedacht dass es so ganz allgemein nicht gehen kann.. Also hier noch die zusätzlichen Voraussetzungen, die aus dem numerischen Zusammenhang (Finite Elemente) kommen: P(K) steht für den Raum der linearen Polynome, $\begin{eqnarray} \mathbb{T}_h \end{eqnarray}$ für eine Zerlegung eines Gebietes $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ in Quadrate. $\begin{eqnarray} V_h := \{ \vartheta \in H^1(\Omega_h) \| \left. \vartheta \right\|_K \in P(K) \;\; \forall \;K \in \mathbb{T}_h \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u \in L^\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P \text{ ist } L^2-\text{ Projektion von } L^\infty \text{ in } V_h \end{eqnarray}$ Ich habe mittlerweile eine weitere Meinung gehört - dabei geht es wohl um eine Methode, so etwas über eine Referenzzelle der Zerlegung zu beweisen.. mir ist allerdings nicht so ganz klar was damit gemeint ist.. kennt jemand einen ähnlichen Beweis? Vielen Dank

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