Ableitung einer reelen Funktion

Neue Frage »

07.03.2012, 14:36	Gordy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer reelen Funktion Hey Leute! Ich steh mal wieder total auf dem Schlauch. Bitte um eure Hilfe. Das Problem ist folgendes: Man soll die Funktion t = f(x, x/y) nach $\begin{eqnarray} \frac{dt²}{dxdy} \end{eqnarray}$ ableiten. Mein erster Gedanke war die einzelnen Parameter in der Funktion abzuleiten, aber das glaube ich macht wenig Sinn, zudem denke ich scheidet diese Variante aus, da zu wenig Aufwand dahinter steckt.
07.03.2012, 14:54	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin Gordy! Schau mal in diesem Thread: Mehrdimensionale Differentiale Dort geht es um ein anderes Vektorfeld, das in f steckt, aber sonst geht es in die gleiche Richtung. Hilft dir das schon?
07.03.2012, 15:03	Gordy	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für die schnelle Antwort! Also das mit den partiellen Ableitungen (in meinem Fall zuerst du/dx und dann du/dy) verstehe ich, nur verstehe ich nicht ganz was da verkettet sein soll? Wenn ich die oben genannte Funktion zuerst nach x ableite, würde ich dann als Ergebnis f( 1, 1/y) erhalten und wenn ich dann weiter nach y ableiten würde, würde ich f( 0, -1/y²) erhalten?!
07.03.2012, 15:23	Gordy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt mal genau so wie auf dem Wikipedia-Link gerechnet, verstanden hab ichs zwar nicht aber nach der gleichen Methode gerechnet. Allerdings versteh ich weiters nicht, wenn ich z.B. zuerst du/dx ableite und dann diese prozedur ausführe ob ich alles nochmal nach du/dy machen soll und wie das dann funktioniert? oder ob ich dies alles in einem Schritt machen kann und ich würde dann als Ergebnis erhalten: 1* $\begin{eqnarray} \frac{dg}{dy1} \end{eqnarray}$ (x, x/y) - $\begin{eqnarray} \frac{1}{y²} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \frac{dg}{dy2} \end{eqnarray}$ (x, x/y) Kann das stimmen?
07.03.2012, 15:48	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf einmal geht es nicht. Es stimmt leider nichts bisher. Aber noch mal langsam. Wir möchten $\begin{eqnarray} \frac{\partial t}{\partial y} \end{eqnarray}$ zuerst berechnen, man rechnet ja von rechts nach links, wir müssen also zuerst nach y ableiten. $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y} (f(x, x/y)) \end{eqnarray}$ . Das, was da steht, ist eine Verkettung zweier Funktionen. Nämlich von f und dem Vektorfeld (x,y) $\begin{eqnarray} \mapsto \end{eqnarray}$ (x, x/y). Und was steht in dem Artikel? Wir brauchen die Ableitung von f (das ist der Gradient) und der Ableitung von dem Vektorfeld nach y. Und die nehmen wir dann miteinander mal.
07.03.2012, 16:05	Gordy	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay jetzt bin ich schon ein wenig weiter. Dann würde $\begin{eqnarray} \frac{-x}{y²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dg}{dy2} \end{eqnarray}$ (x, x/y) rauskommen? Und das müsste ich dann noch nach x ableiten? Sry für die Umstände aber ich kapier das (bisher) noch nicht...
Anzeige

07.03.2012, 17:29	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
[Was ist denn das g? Unsere Funktion hier heißt f. Aber wenn du das beachtest, dann ist es ok. $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y} (f(x, x/y)) = -\frac{x}{y^2} \cdot \frac{\partial f}{\partial y_2}(x, x/y) \end{eqnarray}$ . Gut, das haben wir. Wir müssen jetzt den rechten Ausdruck nach x ableiten. Jetzt brauchst du die Produkt- und Kettenregel. Ein Tipp: Für unsere Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb R, (y_1,y_2) \mapsto f(y_1,y_2) \end{eqnarray}$ haben wir die partielle Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y_2} \end{eqnarray}$ berechnet. Der Gradient dieser Funktion ist dann $\begin{eqnarray} \nabla \frac{\partial f}{\partial y_2} = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y_1 \partial y_2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y_2^2}\right) \end{eqnarray}$ . Eben einmal die Funktion nach $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ ableiten, einmal nach $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ .
07.03.2012, 17:53	Gordy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich glaub ich habs jetzt. Könnte dann die endgültige Lösung $\begin{eqnarray} \frac{d²g}{dy1dy2} \end{eqnarray}$ ( x, x/y) + $\begin{eqnarray} \frac{1}{y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d²g}{d(y2)²} \end{eqnarray}$ ( x, x/y) Ich hoffe das stimmt jetzt so .
08.03.2012, 16:53	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht. Ich erkenne leider immer noch nicht, was du machst - das g macht dort immer noch keinen Sinn, es kommt in deiner Aufgabe kein g vor.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung einer reelen Funktion

Verwandte Themen