Basis des Bildes und Rangsatz?

07.03.2012, 14:58	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Bildes und Rangsatz? Hi Leute, ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem. Ich habe folgende Matrix gegeben. $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 7 \\ 0 & 2 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich will nun die Basis des Bildes bestimmen. Nach einigen Umformungen per Gauß-Jordan bin ich auf folgendes LGS gekommen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun kann man die Basis ja ablesen und wäre nun, $\begin{eqnarray} L=\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray}$ Nun frage ich mich gerade, da es sich ja um ein homogenes LGS handelt und nach dem Rangsatz folgendes gilt, $\begin{eqnarray} Rang(A)+dim(Kern(A))=\text{Anzahl der Spalten von A} \end{eqnarray}$ . Das ist eingesetzt folgendes, $\begin{eqnarray} 2+dim(Kern(A))=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dim(Kern(A))=1 \end{eqnarray}$ Ich weiß das der Rang die Dimension des Bildes angibt was ja in dem Fall auch vollkommen zutrifft. Bloß ich frage mich gerade wo dann der Unterschied zum Kern liegt, das Bild ist ja ein UVR vom $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ wie auch das Bild ein UVR von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist.
07.03.2012, 18:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi:V\to W \end{eqnarray}$ ist der Unterraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , für den gilt $\begin{eqnarray} ker(\varphi):=\{x\in V\|\varphi(x)=0\}=\varphi^{-1}(0) \end{eqnarray}$ .
07.03.2012, 18:26	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich hab's nun! Vielen Dank!

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