Rückwärtsdifferenzenquotient, Differentialquotient und Eigenschaften von konkaven Funktionen |
| 07.03.2012, 16:42 | Quaestio | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Rückwärtsdifferenzenquotient, Differentialquotient und Eigenschaften von konkaven Funktionen Ich habe drei Fragen die alle mit der Differentialrechnung zu tun haben: 1. Grundlage der Differentialrechnung ist die Kombination von Grenzwertbegriff und Differenzenquotient: f'(x) = lim[h->0](f(x+h)-f(x))/h In dieser üblichen Notation wird immer der Vorwärtsdifferenzenquotient benutzt. Meine Frage: Ist stattdessen die Benutzung des Rückwärtsdifferenzenquotienten möglich (und ist dieser äquivalent)? Also: f'(x) = lim[h->0](f(x+h)-f(x))/h = lim[h->0](f(x)-f(x-h))/h 2. In der oben genannten Berechnung des Differentials mit dem Grenzwert, tendiert h gegen 0. Ist es möglich die Formel für die Differentialrechnung so zu ändern, dass das Differential berechnet wird, wenn h gegen 1 tendiert? Also: f'(x) = lim[h->1](f(x+(1-h))-f(x))/(1-h) 3. Eine in allen Lehrbüchern gegebene Eigenschaft von konkaven Funktionen ist folgende Ungleichung: f(y) f(x)+f'(x)*(y-x) Meine Frage: Gilt folgende Ungleichung auch für alle konkaven Funktionen? f(y) f(x)+f'(y)*(y-x) Meine Ideen: Zu 3.: In den Lehrbüchern wird die Ungleichung "f(y) f(x)+f'(x)*(y-x)" aus der Definition von konkaven Funktionen "f(h*y+(1-h)*x) h*f(y)+(1-h)*f(x)" hergeleitet (mit Hilfe der in 1. gennanten Grenzwertformel). Ich habe es geschafft "f(y) f(x)+f'(y)*(y-x)" ebenfalls aus der genannten Definition von konkaven Funktionen herzuleiten, mit Hilfe des Rückwärtsdifferenzenquotienten und der in 2. beschriebenen Grenzwertformel (wo h->1 tendiert). Ich bin mir aber eben nicht sicher ob die in 1. und 2. gemachten Annahmen stimmen. |
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| 07.03.2012, 18:00 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Quaestio, 1. wenn f linksseitig diffbar ist, dann gilt dieser Ausdruck ebenso, denn für den Nenner gilt ja h=x-(x-h). Will man numerisch bessere Ergebnisse erhalten, ist der Ausdruck (f(x+h)-f(x-h))/(2h) besser, wenn f in der Umgebung des gewissen x (meist als x0 geschrieben) diffbar ist. 2. Setze mal k:=1-h 3. Die äquivalente Def. gilt zwar im Nahebereich (h->0) sonst aber nicht zwingend. Mache dir dazu mal eine Skizze einer konkaven Kurve und trage an der Stelle x eine Gerade mit Anstieg f'(y) an. Die schneidet womöglich den Graphen von f. |
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