Häufungspunkt/ Filter

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkt/ Filter
Meine Frage:
Man zeige:

Ist eine Folge in einem topologischen Raum X und der von erzeugte Filter, so ist x genau dann Häufungspunkt von der Folge , wenn x Berührpunkt des Filters ist.

Meine Ideen:
Moin!



Der von erzeugte Filter ist .

Sei x Häufungspunkt der Folge . Das heißt, für alle (Umgebungssystem des Punktes x) gilt, daß unendlich viele .

x ist Berührpunkt des obigen Filters, wenn für alle und alle gilt: .

Ich sehe nicht, wieso diese Schnitte allesamt nicht-leer sein sollen...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Der von erzeugte Filter ist .


Das ist falsch. Was du angibst, ist schonmal von vornerein kein Filter, da er nicht alle Filtereigenschaften erfüllt.

Der Filter, welcher von der Folge erzeugt wird, ist definitionsgemäss der von allen Mengen für natürliche n erzeugte Filter, d.h.

 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Dann verstehe ich jetzt auch, warum

für alle und für alle :

Jedes U enthält unendlich viele Folgenglieder und jedes F auch. Also wird es irgendein gemeinsames Element geben, sodaß der Schnitt nicht leer ist.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jedes U enthält unendlich viele Folgenglieder und jedes F auch


Das ist zwar falsch, aber ich denke das liegt eher daran, dass du dich ungenau ausdrückst. Entscheidend ist, dass F alle (nicht bloss unendlich viele!) Folgenglieder ab einem gewissen n enthalten muss.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versuch es mal etwas plakativ so zu sagen:

Sei U eine Umgebung um x. Dann enthält diese Umgebung unendlich viele Folgenglieder, also alle Folgenglieder außer endlich viele.

Sagen wir zum Beispiel alle Folgenglieder ab dem 120. Folgenglieder.

Ein F enthalte jetzt alle Folgenglieder von mir aus ab dem 27. Folgenglied.


Dann ist der Schnitt aus dem U und dem F nicht leer, weil es irgendwo ab dem 120. Folgenglied ein Folgenglied gibt, das F und U gemeinsam haben bzw. genauer: Sie haben alle Glieder ab dem 120. Folgengleid gemeinsam.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sei U eine Umgebung um x. Dann enthält diese Umgebung unendlich viele Folgenglieder, also alle Folgenglieder außer endlich viele.


"unendlich viele" impliziert eben nicht "alle ab einem genügend grossen n"... unglücklich
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