Reihen und Majorantenkriterium

07.03.2012, 20:11	Pancake	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen und Majorantenkriterium Hallo, ich muss gerade anfangen mich mit Reihen und deren Kovergenz zu beschäftigen, habe allerdings gerade erst angefangen und möglicherweise etwas sehr banales übersehen oder falsch verstanden. Aber es hilft nichts, ich komme trotz (oder wegen einer Musterlösung) bei dieser einfachen Aufgabe nicht weiter: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}=\frac{1}{3n+1} \end{eqnarray}$ (Darunter findet sich noch ein Hinweis auf das Majorantenkriterium) Die Musterlösung aus meinem Tutorium sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3n+1}>\frac{1}{3n+3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Soweit klar, dann der nicht weiter erklärte Schritt, den ich nicht verstehe: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ divergent $\begin{eqnarray} \Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}=\frac{1}{3n+1} \end{eqnarray}$ divergent Warum? So wie ich das sehe, ist meine Reihe doch eine Minorante zur (divergenten) harmonischen Reihe: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}>\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}>\frac{1}{3n+1}>\frac{1}{3n+3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Ich kann doch nicht einfach einen Faktor < 1 herausziehen und dann behaupten, wenn das was verbleibt divergiert, dann divergiert es auch mit dem verkleinernden Faktor. Oder doch? Aber selbst dann wäre 1/n immer noch größer als 1/(n+1).
07.03.2012, 20:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen konstanten Faktor kann man natürlich rausziehen, $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty c\cdot a_k=c\cdot \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray}$ . Reicht das schon um den fehlenden Schritt zu erklären?
07.03.2012, 20:57	Pancake	Auf diesen Beitrag antworten »
Hui, Danke für die schnelle Antwort, ja, im Grunde reicht das. Wobei ich jetzt noch keinen Ansatz wüsste, wenn ich beweisen sollte, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ divergiert...
07.03.2012, 21:00	Pancake	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl doch, vielleicht mit einer Indexverschiebung und vollständiger induktion?
07.03.2012, 21:36	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Quark vollständige Induktion, entweder Indexverschiebung oder zur Not eine weitere Abschätzung sind mehr als ausreichend. ( $\begin{eqnarray} \frac 1{n+1}\geq\frac 1{n+n}=\dots \end{eqnarray}$ )
07.03.2012, 23:11	Pancake	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah OK, Danke vielmals. Das hat mir für den Start sehr geholfen, die anderen Aufgaben gingen jetzt auch alle ziemlich gut.
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