Komplexe Zahlen

08.03.2012, 08:27

zathan796

Komplexe Zahlen

Guten Morgen,

ich habe folgende Klausuraufgabe.

Bestimmen Sie alle Eckpunkte eine regulären (gleichseitigen und gleichwinkligen) Fünfecks mit Mittelpunkt im Ursprung und einer Ecke im Punkt 1+i .Geben Sie eine Gleichung an,deren Lösung genau diese fünf Eckpunkt sind!

Also ich glaube ich müsste $\begin{eqnarray*} z^{5}=1+i \end{eqnarray*}$

diese Gleichung hier bearbeiten ,oder?

Danke Euch

08.03.2012, 08:38

zathan796

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Koplexe Zahlen
oder war es dass hier?

$\begin{eqnarray*} z^{5}=(1+i)^5 \end{eqnarray*}$

08.03.2012, 08:53

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen
Deine zwei Ideen führen leider nicht zum Ziel. Die Zahl 1+i soll ja eine der fünf Zahlen sein, die, wenn man sie hoch fünf nimmt, jeweils dieselbe komplexe Zahl ergibt. Also?

Viele Grüße
Steffen

08.03.2012, 08:57

zathan796

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen
$\begin{eqnarray*} z=(1+i)^5 \end{eqnarray*}$

so ?

08.03.2012, 09:01

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von zathan796
$\begin{eqnarray*} z=(1+i)^5 \end{eqnarray*}$

so ?

Genau so!

Viele Grüße
Steffen

08.03.2012, 09:55

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Koplexe Zahlen

Zitat:

Original von zathan796
oder war es das hier?

$\begin{eqnarray*} z^{5}=(1+i)^5 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. So muss die Gleichung lauten, welche die anderen 4 Lösungen liefert.
Warum Steffen diese verworfen hat, weiss ich nicht.

$\begin{eqnarray*} z = (1+i)^5 \end{eqnarray*}$ kann die gesuchten Eckpunkte nicht ergeben.

mY+

08.03.2012, 10:06

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Koplexe Zahlen

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} z = (1+i)^5 \end{eqnarray*}$ kann die gesuchten Eckpunkte nicht ergeben.

Vielleicht haben wir unterschiedliche Betrachtungsweisen. Wenn ich vom obigen z die fünfte Wurzel ziehe, bekomme ich fünf Lösungen, von denen die Hauptlösung 1+i ist. Mit den anderen vieren entsteht das Fünfeck.

Aber ich will mich nicht rumstreiten, das verwirrt zathan796 nur. Übernimm, wenn Du meinst, ich liege falsch.

Viele Grüße
Steffen

08.03.2012, 14:28

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Koplexe Zahlen
hm..
z=a ist eine in z lineare Gleichung (auch wenn die Konstante a ein Term mit Hochzahl 5 ist)
welches da wohl die "Lösungen" für z sind ?

Vorschlag:

ermittle die fünf Lösungen von z^5 =1

das gibt auf dem Einheitskreis die Eckpunkte eines regelmässigen Fünfecks (beginnend zB bei z1=1)

drehe nun dieses Fünfeck um 45° und strecke das Ergebnis mit dem Faktor sqrt(2)
(Zentrum jeweils (0;0) )
dh also: multipliziere jede der 5 Lösungen von z^5=1 mit dem Faktor (1+i)

dann hast du das gesuchte Fünfeck mit einer Ecke in 1+i

und kannst also nun vielleicht besser sehen, welches die richtige Gleichung ist,
die du lösen solltest, um ohne den notierten Umweg direkt die 5 Punkte zu erhalten ..
verwirrt

09.03.2012, 13:45

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Koplexe Zahlen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
...
Vielleicht haben wir unterschiedliche Betrachtungsweisen.
...

Ja, die haben wir, offensichtlich. Mit z meinte ich jene komplexe Zahl, nach der die Gleichung zu lösen ist.
Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z = (1 + i)^5 \end{eqnarray*}$ kann nur eine Lösung haben, nämlich die 5. Potenz des Klammerausdruckes.
$\begin{eqnarray*} z^5 = (1 + i)^5 = -4 - 4i \end{eqnarray*}$ hingegen hat 5 Lösungen, wobei $\begin{eqnarray*} 1 + i \end{eqnarray*}$ eine davon ist.

Wir wollen und werden sicher nicht "herumstreiten", zathan hat sich ohnehin nicht mehr gemeldet, auch nicht die feine Art ...

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahlen

Verwandte Themen