Primkörper Vorstellung?

08.03.2012, 09:41

latingirl

Primkörper Vorstellung?

Meine Frage:
Hallo!

Der Primkörper von K ist ja als Durchschnitt aller Teilkörper von K definiert.
Nun ist ja auch immer {0,1} ein Teilkörper, oder???
Warum ist dann nicht jeder Primkörper automatisch {0,1}???

Meine Ideen:
Mir fällt die Vorstellung sehr schwer, da ich, wenn ich alle Untergruppen einer Gruppe schneide, ja auch nur das Nullelement - also den trivialen Fall - erhalte, oder?

glg

08.03.2012, 09:46

pseudo-nym

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RE: Primkörper Vorstellung?

Zitat:

Original von latingirl
Nun ist ja auch immer {0,1} ein Teilkörper, oder???

Nein, $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \subseteq \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist kein z.B. kein Körper.

08.03.2012, 10:51

latingirl

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Ähhmmm, das versteh ich nicht:

Es sind doch alle Kriterien für einen Körper erfüllt, oder?
z.B.
additive abelsche Gruppe: {0,1}
multiplik. abelsche Gruppe: {1}

Wo ist mein Denkfehler?

Noch was anderes:
Jeder Unterkörper enthält ja das Einselement und somit auch seine Vielfachen und deren Inversen.
Damit kann ich aber noch nicht alle Körperelemente haben, sonst wäre ja der Primkörper stets gleich dem Körper. Welche fehlen noch? (wenn man das überhaupt so sagen kann) Liegt es vielleicht daran, dass sich die Vielfachen nur auf ganzzahlige Vielfache beziehen???

lg

08.03.2012, 10:55

tmo

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Wir sind hier doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist $\begin{eqnarray*} 1+1=2 \notin \{0,1\} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ keine abelsche Gruppe bzgl. Addition.

Zu deiner letzten Frage: Bei einem Körper der Char. 0 (wie z.b. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ ) ist der Primkörper immer $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

D.h. alle anderen Elemente "fehlen". Weil man sie eben nicht "braucht" um einen Körper zu bilden, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ schon einer ist.

08.03.2012, 11:09

latingirl

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upps, da hab' ich wohl zu schnell gedacht.

Geht i.O.!!!

Thanks!

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