Wenn die Determinante einer Matrix ungleich 0 ist, bilden die Vektoren dann ein Erzeugendensystem?

08.03.2012, 16:09

MrGlotzi

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Wenn die Determinante einer Matrix ungleich 0 ist, bilden die Vektoren dann ein Erzeugendensystem?

Meine Frage:
Hallo,

habe ich das richtig Verstanden, wenn ich z.B. 3 Vektoren habe, diese in einer Matrix schreibe

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und ich davon die Determinante berechne und diese ungleich Null ist, dass ich dann automatisch weiß, dass die 3 Vektoren ein Erzeugendensystem bilden?

Danke !

MrGlotzi

Meine Ideen:
.

08.03.2012, 16:25

ollie3

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RE: Wenn die Determinante einer Matrix ungleich 0 ist, bilden die Vektoren dann ein Erzeugendensyste
hallo mrglotzi,
klare antwort: ja smile

smile

, nur du hast in der matrix die zeilen als spalten geschrieben,
aber das funktioniert natürlich auch.
gruss ollie3

08.03.2012, 16:29

MrGlotzi

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Danke für die schnelle Antwort!

08.03.2012, 21:16

Helferlein

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So ganz ohne Einschränkung gilt das aber nicht.
Aus der Tatsache, dass die Determinante ungleich Null ist lässt sich zunächst nur folgern, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Wenn sie aus einem dreidimensionalen Vektorraum sind, sind sie somit auch ein Erzeugendensystem und sogar eine Basis. Ist die Dimension aber größer als drei, dann erzeugen sie nur einen Unterraum der Dimension drei.

08.03.2012, 21:19

IfindU

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@Helferlein
Aber die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert (so kenn ich sie wenigstens), deswegen denke ich man kann die Aussage so stehen lassen.

08.03.2012, 21:24

Helferlein

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@IfindU
Was hat denn das mit der Aussage zu tun? Wenn ich mir z.B. drei Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nehme und deren Determinante berechne, dann sagt die mir garantiert nichts darüber aus, ob diese drei Vektoren den Vektorraum aufspannen. Da der Vektorraum unendlichdimensional ist, sind sie nämlich, unabhängig davon ob die Determinante 0, 1 oder 1 Mio ergibt, garantiert kein Erzeugendensystem.

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08.03.2012, 21:37

galoisseinbruder

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@Helferlein:
Das Problem ist aber das in diesem VR keine Determinante definiert ist. Die Determinante ist nur für endliche quadratische Matrizen definiert. Was sollte denn z.B. $\begin{eqnarray*} det (1,2 ,\pi) \end{eqnarray*}$ sein?

08.03.2012, 21:45

IfindU

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Ich dachte gerade an endlich-dimensionale Vektorräume - und wenn man z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}-VR \end{eqnarray*}$ auffasst, dann haben Elemente aus dem Vektorraum 3 Komponenten, und wenn man verschiedene Vektoren "als Matrix" aufschreibt, kann man die Determinante nur berechnen, wenn man 3 Vektoren nimmt, da alles andere keine quadratische Matrix ergeben kann.

Und für unendlich dimensionale wäre mir nicht wirklich klar, wie man überhaupt eine "gute" Determinante definieren kann.

Edit: Hab wohl "etwas" zu langsam getippt/gedacht.

08.03.2012, 22:10

Helferlein

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Wenn ich mich nicht irre ist eine Determinante doch nur eine Abbildung vom Vektorraum der quadratischen Matrizen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , die bestimmte Eigenschaften erfüllt.
Wo geht denn da eine Vorschrift ein, dass die n Vektoren aus einem n-dimensionalen Vektorraum sein müssen? Ich meine man sieht einem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ doch gar nicht an, ob er aus einem $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum stammt.

08.03.2012, 22:29

IfindU

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Okay, wenn du die Anzahl der Elemente der Vektoren unabhängig von der Dimension siehst, sondern einzig und alleine als verkürzte Schreibweise der Linearkombination von Elementen einer Menge siehst, dann hast du natürlich recht.
Mir schien es nur unnatürlich, dass man z.B. Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ mit nur 2 Einträgen schreiben würde.

08.03.2012, 22:51

Helferlein

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Gut, wenn man Vektor als Koordinatenvektor auffasst, dann ist die Begründung nachvollziehbar. Ein Vektor im eigentlichen Sinne ist aber doch nur ein Element eines Vektorraums, streng genommen sogar unabhängig von der Darstellungsart, oder liege ich hier einem Irrtum auf?

08.03.2012, 22:51

galoisseinbruder

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Zitat:

Ich meine man sieht einem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ doch gar nicht an, ob er aus einem $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum stammt.

Nein das sieht man dem Vektor nicht an, allerdings sieht man ihm an, dass er aus einem 3-dimensionalem VR kommt.
$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist eine Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} x=a_1e_1+\ldots +a_ne_n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} e_1, \ldots e_n \end{eqnarray*}$ eine Basis des VR ist in dem x lebt. Es ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schlicht weil ersterer Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ zweiterer aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Wo geht denn da eine Vorschrift ein, dass die n Vektoren aus einem n-dimensionalen Vektorraum sein müssen?

In der Definition. Wie willst du denn eine quadratische Matrix erzeugen mit n Vektoren die aus einem nicht n-dimensionalen Raum sind.

14.04.2017, 14:47

fuat

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Zitat:

Original von Helferlein
So ganz ohne Einschränkung gilt das aber nicht.
Aus der Tatsache, dass die Determinante ungleich Null ist lässt sich zunächst nur folgern, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Wenn sie aus einem dreidimensionalen Vektorraum sind, sind sie somit auch ein Erzeugendensystem und sogar eine Basis. Ist die Dimension aber größer als drei, dann erzeugen sie nur einen Unterraum der Dimension drei.

Könnte mir jemand sagen aus welchem Satz oder Theorem diese Aussage kommt?
So ganz trivial verstehe ich leider nicht verwirrt

verwirrt

14.04.2017, 18:03

URL

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Sind die Vektoren lin. abh, dann kann man durch geeignete Spaltenumformungen eine Nullspalte in der Matrix erzeugen. Die Determinanten ist also Null.

15.04.2017, 14:05

fuat

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Lineare Unabhängigkeit verstehe ich schon, mir war eher das Basis-teil nicht klar. verwirrt

verwirrt

Wie können wir so direkt folgern dass diese Vektoren auch eine Basis darstellen?

15.04.2017, 14:22

URL

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n lin.unabh. Vektoren eines n dimensionalen Raumes bilden eine Basis dieses VR.
Geht es darum?
Gäbe es einen Vektor, den man nicht darstellen könnte, hätte man n+1 l.u. Vektoren gefunden.

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