Gleichungssystem - geometrische Deutung

08.03.2012, 16:19

Tolftoi

Gleichungssystem - geometrische Deutung

Hallo,

ich habe das lineare Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} - 5 x_1 & + x_2 & - 3 x _3 = 7 \newline 5 x_1 & - 3x_2 & - x_3 = -11 \newline x_1 & & + x_3 = -1 \end{eqnarray*}$

dies kann ich transformieren in:

$\begin{eqnarray*} x_1 & + x _3 & = -1 \newline & x_2 + 2 x_3 & = 2 \newline 0 & & = 0 \end{eqnarray*}$
Dies sind ja unendlich viele Lösungen. Bloß weiß ich gerade nicht was die geometrische Interpretation sein soll (2 Ebenen + Schnittgerade?), bzw. wie ich auf diese komme. Über Hilfe würde ich mich freuen.

08.03.2012, 16:47

riwe

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RE: Gleichungssystem - geometrische Deutung
meine unwesentliche meinung:
du hast 3 ebenen einer schar, deren gemeinsame schnittgerade (eventuell auch die allgemeine gleichung der schar) ist einfach zu bestimmen, indem du z.b.
$\begin{eqnarray*} x_3=-t \end{eqnarray*}$ setzt.

08.03.2012, 18:10

Tolftoi

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Woran sehe ich, dass es drei Ebenen sind? (sehe ich das daran, dass es drei Gleichungen sind?)

Was die Schnittgerade betrifft:

$\begin{eqnarray*} x_1 = &-1 + t \newline x_2 = &2 + 2t \newline x_3 = &t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

stimmt das?

08.03.2012, 18:25

riwe

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jede dieser 3 linearen gleichungen repräsentiert in R3 eine ebene.

deine schnittgerade stimmt so nicht traurig

08.03.2012, 18:44

Tolftoi

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So sollte es aber richtig sein, oder? verwirrt

$\begin{eqnarray*} g: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

08.03.2012, 19:18

riwe

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08.03.2012, 19:24

Tolftoi

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Dann danke für die Hilfe smile

09.07.2013, 11:58

eintopf

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Sorry, wenn ich das hier wieder ausgrabe, aber wie komme ich auf die Schnittgerade? Ich verstehe nicht, warum dort -1t statt 1t steht. Rein von Gefühl erscheint mir nämlich die erste Lösungsvariante logischer.

09.07.2013, 14:11

riwe

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Zitat:

Original von eintopf
Sorry, wenn ich das hier wieder ausgrabe, aber wie komme ich auf die Schnittgerade? Ich verstehe nicht, warum dort -1t statt 1t steht. Rein von Gefühl erscheint mir nämlich die erste Lösungsvariante logischer.

das ist doch völlig schnurze unglücklich

wenn du deinem gefühl folgen willst, setze halt $\begin{eqnarray*} s= -t \end{eqnarray*}$ und du hast

$\begin{eqnarray*} x_3=s \end{eqnarray*}$ usw. usw. usw.

10.07.2013, 08:45

eintopf

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Mal unabhängig davon, was sonst hier bereits beschrieben bzw. errechnet wurde, dann müsste das Folgende doch richtig sein, oder?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1 = &-1 + t \newline x_2 = &2 + 2t \newline x_3 = &t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Hast du es nur als falsch markiert, weil er die Verwendung von x3=-t in dem Fall nicht konsequent durchgezogen hat?
( Mir gehts gerade hauptsächlich um die Methode im letzten Schritt.)

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