Satz von Alexander

08.03.2012, 17:35

Gast11022013

Satz von Alexander

Meine Frage:
Der Satz von Alexander lautet:

Zitat:

"Mengentheoretische Topologie", B.v.Querenburg

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ eine Subbasis des topologischen Raums X.
Genau dann ist X kompakt, wenn jede Überdeckung von X mit Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ eine endliche Überdeckung enthält.

Meine Frage bezieht sich auf den Beweis.

Zitat:

Quelle: s. oben
Beweis. Die erste Beweisrichtung ist trivial [...]

Das verstehe ich: Ist X kompakt, so bedeutet das definitionsgemäß, daß jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung enthält. Dann gilt das natürlich auch für eine Überdeckung von X mit Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ (dies sind ja offene Mengen, da $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ ein System von Teilmengen der Topologie des topologischen Raums ist).

Zitat:

Quelle: s.o.
[...], die andere beweisen wir indirekt: Wir nehmen an, X ist nicht kompakt; es gibt also nach 8.2 (d) einen nicht konvergenten Ultrafilter $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ und somit zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_x\in\mathcal{S} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_x\notin\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ [...]

Auch dies verstehe ich im Grunde. Satz 8.2(d) zeigt (neben anderen Äquivalenzen), daß die Aussage "X ist kompakt" äquivalent zu der Aussage "Jeder Ultrafilter ist konvergent" ist. Wenn also angenommen wird, daß X nicht kompakt ist, gibt es wenigstens einen Ultrafilter $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , der nicht konvergiert. Das wiederum bedeutet definitionsgemäß, daß für kein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ gilt, daß der Umgebungsfilter $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ in dem Ultrafilter liegt. Also kann man zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ eine Umgebung finden (hier: $\begin{eqnarray*} U_x \end{eqnarray*}$ genannt), die nicht in $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ liegen.

Aber wieso gilt für diese Umgebungen $\begin{eqnarray*} U_x\in\mathcal{S} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist der erste und einzige Punkt, an dem ich stocke.

Der Rest des Beweises ist mir dann wieder klar und den lasse ich hier deswegen weg.

Meine Ideen:

bisher keine

Edit 1:

Sei $\begin{eqnarray*} U_x \end{eqnarray*}$ Umgebung von $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Dann gilt per definitionem, daß es eine offene Menge O in X gibt, sodaß $\begin{eqnarray*} x\in O\subseteq U_x \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man natürlich auch $\begin{eqnarray*} O:=U_x \end{eqnarray*}$ nehmen.

Dann ist $\begin{eqnarray*} U_x \end{eqnarray*}$ also eine offene Menge in X und kann, da nach Annahme $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ Subbasis von X ist, geschrieben werden als Vereinigung endlicher Schnitte von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ .

Doch inwiefern ist $\begin{eqnarray*} U_x \end{eqnarray*}$ dann selbst Element von $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ ?

08.03.2012, 20:46

Gast11022013

Satz von Alexander

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