(offene) Überdeckung

08.03.2012, 19:56	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
(offene) Überdeckung Meine Frage: Ich versuche gerade zu verstehen, wann man bei einer Überdeckung = und wann man $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ schreibt... Bei der Kompaktheit von topologischen Räumen sehe ich immer das = und sonst auch mal $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Eine Überdeckung einer Menge besteht doch aus der Vereinigung von Teilmengen der Menge und soll - deswegen der Name - die Menge überdecken. Kann es sein, daß man bei offenen Überdeckungen das = schreibt?
08.03.2012, 20:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (offene) Überdeckung Sei $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}, \tau_d) \end{eqnarray}$ und der Teilraum $\begin{eqnarray} ([0,1], \tau'_d) \end{eqnarray}$ . Im ersten Raum ist eine Überdeckung von [0,1] eine Menge von Teilmengen der reellen Zahlen - insbesondere muss es keine Teilmenge von [0,1] sein, so ist z.B. die Menge { (-1,2) } eine Überdeckung von [0,1], aber es gilt nicht (-1,2) = [0,1], sondern nur [0,1] ist eine Teilmenge von (-1,2). Wenn wir [0,1] nun im zweiten Raum überdecken wollen ist jede Teilmenge, die in diesem Raum existiert, natürlich Teilmenge von [0,1], also ist eine Überdeckung von [0,1] diesmal "nur" das ganze Intervall - es kann nicht mehr sein! Edit: Gerade die Überdeckungen offen gemacht.
08.03.2012, 20:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (offene) Überdeckung Das heißt, wenn ich zum Beispiel bei einem topologischen Raum eine Überdeckung der Grundmenge meine, ist es =, wenn ich eine Überdeckung einer Teilmenge von der Grundmenge meine, ist es das Teilmengensymbol?
08.03.2012, 20:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (offene) Überdeckung Du kannst immer das Teilmengensymbol nehmen, wenn du willst. Es gilt in Raum 2: Sei $\begin{eqnarray} (U_n)_n \end{eqnarray}$ eine Überdeckung von [0,1], dann gilt: $\begin{eqnarray} [0,1] \subset \bigcup_n U_n \end{eqnarray}$ , weil es eine Überdeckung ist. Aber da jedes $\begin{eqnarray} U_n \subset [0,1] \end{eqnarray}$ gilt auch $\begin{eqnarray} \bigcup_n U_n \subset [0,1] \end{eqnarray}$ . Es ist also nur ein Spezialfall, wenn man den ganzen Raum überdeckt, dann folgt aus der Teilmengenrelation der Überdeckung sofort Gleichheit.
08.03.2012, 20:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (offene) Überdeckung Danke! Dann verstehe ich jetzt, wieso der Professor einfach immer das Teilmengensymbol genommen hat.

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