Quadratische Gleichungen als Kreisgleichungen

08.03.2012, 20:02

wobb

Quadratische Gleichungen als Kreisgleichungen

Meine Frage:
"Untersuche, ob die folgende Gleichung einen Kreis darstellt.

a.) x² + y² + 8x - 2y - 32 = 0

LÖSUNG:
-> (x+4)² + (y-1)² - 32 = 16 + 1 ... etc.

Meine Ideen:
"Quadriert man die Klammern in einer Kreisgleichung (x-m1)² + (y - m2)² = r² aus, erhält man eine quadratische Gleichung der Form
x²+y²+ax+by+c=0"

MEINE FRAGE:
kann mir bitte bitte bitte jemand erklären wie man diesen schritt RÜCKWÄRTS (siehe LÖSUNG) anwendet?
l.g wobb

08.03.2012, 20:08

original

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RE: Quadratische Gleichungen als Kreisgleichungen

Zitat:

Original von wobb

a.) x² + y² + 8x - 2y - 32 = 0

kann mir bitte bitte bitte jemand erklären wie man diesen schritt RÜCKWÄRTS (siehe LÖSUNG) anwendet?

suche jeweils die "quadratische Ergänzung":

x² + 8x + _ + y² - 2y + _ = 32 + _ +_

ok?

08.03.2012, 20:22

wobb

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vielen dank für die schnelle antwort, aber leider nein, ich schein noch am schlauch zu stehen. Hammer

08.03.2012, 20:34

original

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also
Beispiel:

x² + 8x + 16 + y² - 2y + _ = 32 + 16 +_

(x + 4)² + y² - 2y + _ = 48 +_

kannst du den zweiten Teil jetzt noch selbst schaffen? smile

08.03.2012, 20:37

wobb

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aaah, die binomische formel! Big Laugh

... vielen dank, original! Gott

haha

08.03.2012, 21:29

SusiQuad

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Ein Kreis um den Nullpunkt mit Radius r wäre durch $\begin{eqnarray*} x^2+y^2= r^2 \end{eqnarray*}$ gegeben. - Skizze ? - Erkenntnis? ... Hier findet Pythagoras statt!

Wir erschweren die Situation von ... Kreis um den Nullpunkt auf ...
Kreis um den $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ -Punkt der Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2= r^2 \end{eqnarray*}$

Wir haben nix anderes als verschoben. Das Ergebnis ist allerdings ein beliebiger Kreis, der bestimmt ist durch seinen Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ und seinen Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Was doch wohl umgekehrt heisst: Was auch immer einen Kreis darstellt, braucht einen Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ und einen Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ für diese Darstellung $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2= r^2 \end{eqnarray*}$ , also machen wir:

$\begin{eqnarray*} 0= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 +8x - 2y -32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =~(x+4)^2 -4^2 + (y-1)^2 - 1^2 -32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =~(x+4)^2 + (y-1)^2 - 7^2 \end{eqnarray*}$

... und wir erkennen einen Kreis, mit
Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (-4,1) \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r = 7 \end{eqnarray*}$

Auszug aus: Einführung auf Mathematik für Friseure auf Lehramt in Köln

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