Gleichung mit trigonometrischer Funktion lösen

09.03.2012, 11:47

sirpod

Gleichung mit trigonometrischer Funktion lösen

Meine Frage:
Hallo,
es geht z.B. um folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} x+\sin(x) = 3 \end{eqnarray*}$

Ich weiß jedoch leider nicht, wie ich diese Gleichung umstellen kann, so dass ich mindestens eine Lösung erhalte.
Natürlich kann ich die Gleichung mit einem Interpolationsverfahren lösen, das will ich jedoch nicht machen.
Gibt es kein Umformungsverfahren um diese Gleichung zu lösen?

Danke & Gruß

Meine Ideen:
lineare Interpolation oder
man kann die Sinusfunktion mit der Taylor-Reihe annähern.
Ich will jedoch eine genaue Lösung.

09.03.2012, 12:51

lgrizu

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RE: Gleichung mit trigonometrischer Funktion lösen
Das mit der genauen Lösung wird eher schwer, es handelt sich um eine irrationale transzendete Zahl, die (soweit ich das überschauen kannn) kein rationales Vielfaches von Pi ist. Näherungslösungen sollten hier die fruchtbarsten sein, ich würde da Newton empfehlen.

09.03.2012, 13:47

original

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RE: Gleichung mit trigonometrischer Funktion lösen

Zitat:

Original von sirpod

$\begin{eqnarray*} x+\sin(x) = 3 \end{eqnarray*}$

Ich weiß jedoch leider nicht, wie ich diese Gleichung umstellen kann, so dass ich mindestens eine Lösung erhalte.

Ich will jedoch eine genaue Lösung.

1. du kannst relativ einfach zeigen, dass es nur genau eine Lösung hat

2. wie lgrizu schon andeutete: es wird nicht möglich sein, eine genaue Lösung zu berechnen

3. also musst du mit einer geeigneten Näherungsmethode zufrieden sein , da kannst du nach Bedarf
ja auch immer noch genauere Werte als x=2,1797... usw ermitteln.

Wink

09.03.2012, 14:19

sirpod

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1.) Es ist richtig, dass dieses System genau eine Lösung hat, aber mir geht darum, das ich nicht weiß, wie so ein System überhaupt umstellen kann.
2.) Mir geht auch nicht darum, eine genau Lösung zu erhalten, sondern die Gleichung nach x umzustellen.

Im Prinzip will ich nur wissen, ob man so eine Gleichung überhaupt nach x umstellen kann?

Sorry, wenn ich das etwas komisch beschrieben habe.

09.03.2012, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von sirpod
Im Prinzip will ich nur wissen, ob man so eine Gleichung überhaupt nach x umstellen kann?

Diese Frage ist doch von den Vorpostern hinreichend beantwortet worden: Es geht nicht.

09.03.2012, 19:12

SusiQuad

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Zitat:

Es geht nicht

... weil es auf dem Taschenrechner keine entsprechende Taste gibt.
LOL Hammer

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon [0,\pi) \to [0,\pi) ~,~f(x)=x+\sin(x) \end{eqnarray*}$ ist stetig diff.bar und bijektiv, vermöge $\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , besitzt also eine stetig, diff.bare Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ . Leider hat diese es nicht zu einer solchen Berühmtheit gebracht wie $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ selber, die eine eigene Taste auf dem Taschenrechner besitzt.

Besitzt $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine Lösung? Können wir umstellen?
Im obigen Fall schreiben wir $\begin{eqnarray*} f^{-1}(3) \end{eqnarray*}$ und und kennen diese Zahl genauso gut wie $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ .

09.03.2012, 19:23

HAL 9000

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Ist ja schön, dass du so schlau bist zu wissen, dass es für diese streng monotone Funktion eine Umkehrfunktion gibt. Die Frage von sirpod bezog sich aber auf eine explizite Auflösung der Gleichung unter Verwendung "üblicher" Funktionen. Darauf, und nur darauf bezog sich meine Antwort. Augenzwinkern

Eine Antwort wie $\begin{eqnarray*} f^{-1}(3) \end{eqnarray*}$ , so richtig sie auch sein mag, ist in Hinblick auf die konkrete Berechnung dieser Gleichungslösung ziemlich wertlos.

09.03.2012, 19:41

SusiQuad

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So wertlos wie $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1}{2} ~\iff~ x= \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ , genau das wollte ich hören ...

09.03.2012, 19:44

HAL 9000

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Ich weiß nicht, warum du hier Streit suchst. Nenne doch mal explizit die Lösung von $\begin{eqnarray*} x+\sin(x)=3 \end{eqnarray*}$ als endlichen Ausdruck unter Verwendung der vier Grundrechenarten, der Winkel- und deren Umkehrfunktionen, Exponential- und Logarithmenfunktionen - kurzum, was man also so als "übliche" Funktionen akzeptiert.

09.03.2012, 19:57

SusiQuad

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Dein Taschenrechner hat also ...

Zitat:

vier Grundrechenarten, der Winkel- und deren Umkehrfunktionen, Exponential- und Logarithmenfunktionen

... sehr komfortabel. Aber 'üblich'?

Meiner hat [INV] -Taste für bijektive Funktionen.

Da scheint ein Upgrade fällig ?!

09.03.2012, 19:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von SusiQuad
Meiner hat [INV] -Taste für bijektive Funktionen.

Für $\begin{eqnarray*} x+\sin(x) \end{eqnarray*}$ ? Respekt! Big Laugh

09.03.2012, 20:01

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von SusiQuad
So wertlos wie $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1}{2} ~\iff~ x= \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ , genau das wollte ich hören ...

Wertlos - und zwar vollkommen - ist eher Dein Beitrag, da er insbesondere sachlich falsch ist.

09.03.2012, 20:19

sirpod

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@SusiQuad: Ich weiß jetzt nicht, was du mir genau sagen willst.

Wie ist denn jetzt die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} x+sin(x)=3 \end{eqnarray*}$ ?

09.03.2012, 21:37

SusiQuad

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Zitat:

Beitrag ... sachlich falsch

Dann widerlege mich konkret.

09.03.2012, 22:10

Iorek

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Nur die eine Richtung ist korrekt, $\begin{eqnarray*} x=\frac {\pi}6 \Rightarrow \sin(x)=\frac 12 \end{eqnarray*}$ , die andere Richtung ist falsch (wie man etwa durch $\begin{eqnarray*} \sin(\frac {13}6\pi)=\frac 12 \end{eqnarray*}$ leicht nachrechnet).

Des Weiteren empfehle ich dir dringend, einen anderen Tonfall und ein anderes Verhalten hier im Board an den Tag zu legen und dich mit unserem Boardprinzip auseinanderzusetzen. Auch ein überflüssiges Einmischen in laufende Threads ist zu unterlassen.

Nachtrag:
@sirpod, die Umkehrfunktion ist nicht mit elementaren Mitteln darstellbar. Einzelne Werte lassen sich bestimmt (mehr oder weniger) einfach berechnen, aber auch mit SusiQuads Taschenrechner lässt sich die Umkehrfunktion nicht angeben (natürlich könnte das ganz leicht widerlegt werden, indem SusiQuad den Taschenrechner bemüht und uns die gefundene Umkehrfunktion mitteilt).

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