abg. Teilmenge kompakt

09.03.2012, 13:58	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
abg. Teilmenge kompakt Meine Frage: Zeige: Jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten topologischen Raums ist kompakt. Meine Ideen: Hallo, laut Boto von Querenburg soll man für den Beweis Folgendes benutzen: $\begin{eqnarray} X~\text{kompakt}~\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Jede Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ abgeschlossener Mengen von X mit $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ enthält eine endliche Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I'\subset I} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I'}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ . Damit soll es ganz unmittelbar folgen. Ich sehe das aber nicht. Kann mir bitte jemand helfen?
09.03.2012, 14:08	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Tipp: Sei K abgeschlossen in X. Schau dir zu einer gegebenen Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ abgeschlossener Mengen die Familie $\begin{eqnarray} (A_i \cap K)_{i\in I} \end{eqnarray}$ an.i Edit: bzw. noch einfacher: Ist $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ Familie abgeschlossener Mengen im Teilraum K, dann ist $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ auch Familie abgeschlossener Mengen in X.
09.03.2012, 14:19	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, jetzt habe ich es durch Deinen Tipp verstanden. Ich schreibe es ruhig mal etwas ausführlicher hin: Also nach Annahme ist X kompakt, das bedeutet, daß jede Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ abgeschlossener Teilmengen von X mit $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ eine endliche Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I'\subset I} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I'}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ enthält. Sei nun $\begin{eqnarray} K\subseteq X \end{eqnarray}$ abgeschlossene Teilmenge von X. Betrachte die Familie $\begin{eqnarray} (A_i\cap K)_{i\in I} \end{eqnarray}$ abgeschlossener Mengen (abgeschlossen sind die Mengen darum, weil der Schnitt abgeschlossen ist). Außerdem sind die $\begin{eqnarray} A_i\cap K\subseteq K \end{eqnarray}$ , also abgeschlossene Teilmengen von K. Weiter gilt: $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I}(A_i\cap K)=K\cap\bigcap_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ , da X nach Annahme kompakt ist. Dann gibt es ja (ebenfalls nach Annahme) eine endliche Familie $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I'\subset I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ also auch $\begin{eqnarray} K\cap\bigcap_{i\in I'}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ . Und daraus folgt nach obiger Äquivalenz, daß K kompakt ist. Ich hoffe, so habe ich es richtig verstanden. Edit 2 u. 3: Dein neuer Tipp zielt auf einen Widerspruchsbeweis ab, oder? Also K als Teilraum vom topologischen Raum trägt doch die induzierte Topologie. Angenommen, K sei nicht kompakt. Dann gäbe es eine Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ abgeschlossener Teilmengen von K mit $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ , für die es keine endliche Familie gäbe, deren Schnitt leer ist. Da nun (wegen der induzierten Topologie) es dann auch in X eine solche Familie gäbe, wäre X nicht kompakt. Widerspruch zur Annahme.
09.03.2012, 18:39	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, der "Widerspruchsbeweis" den du führst, ist zwar korrekt, aber völlig künstlich. Du kannst einfach direkt schliessen: Sei $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ Familie abgeschlossener Mengen in K mit $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ auch Familie abgeschlossener Mengen (da K abgeschlossen) in X und erfüllt $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ . Da X kompakt ist, folgt daraus die Existenz einer endlichen Teilfamilie mit leerem Schnitt. Also ist gezeigt: Jede Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ abgeschlossener Teilmengen von K mit $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ enthält eine endliche Familie $\begin{eqnarray} (A_i)_{i\in I'\subset I} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bigcap_{i\in I'}A_i=\emptyset \end{eqnarray}$ . => K ist kompakt.

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