Bilden stetige, bijektive Abbildungen offene Mengen auf offene Mengen ab?

09.03.2012, 14:12	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilden stetige, bijektive Abbildungen offene Mengen auf offene Mengen ab? Hallo, es geht um die Aussage im Titel: Bilden stetige, bijektive Abbildungen offene Mengen auf offene Mengen ab? Und zwar würd ich gern wissen, ob die stimmt und die ggf. beweisen. Falls die Aussage nicht stimmen sollte, dann bräuchte man eine Abbildung, die zwar stetig und bijektiv ist, aber kein Homöomorphismus (sonst ist die Aussage klar), z.B. $\begin{eqnarray} f: [0,2\pi) \rightarrow S^1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \mapsto (cos x, sin x) \end{eqnarray}$ . Trotzdem komme ich mit meinen Überlegungen auf keinen grünen Zweig. Kann mir hier wer helfen und einen Denkanstoß geben? Danke im Voraus!
09.03.2012, 15:48	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch selber schon ein Gegenbeispiel genannt (dein f). Ist dir nicht klar, warum das ein Gegenbeispiel ist oder was ist deine Frage?
09.03.2012, 16:58	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für deine Antwort. Ich sehe gerade nicht, welches offene Intervall man abbilden muss... aber ich habe wohl nur ein Brett vorm Kopf und denke noch mal nach. Gruß
10.03.2012, 04:22	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild der offenen Menge $\begin{eqnarray} [0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ ist z.B. nicht offen in $\begin{eqnarray} S^1. \end{eqnarray}$ Ergänzung zur Veranschaulichung: Man sieht, dass offene Epsilon-Umgebungen von (1,0) in $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ zwar offenen Umgebungen von 0 in $\begin{eqnarray} [0,2\pi) \end{eqnarray}$ entsprechen (nämlich Umgebungen der Form $\begin{eqnarray} [0,a)\cup (2\pi-a,2\pi) \end{eqnarray}$ ), aber nicht umgekehrt: Das Bild von $\begin{eqnarray} [0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ ist der Schnitt von $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ mit dem ersten Quadraten in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ohne den Punkt (0,1) aber mit dem Punkt (1,0) - klar nicht offen in $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ . Die Topologie von $\begin{eqnarray} [0,2\pi) \end{eqnarray}$ ist gewissermaßen feiner als die von $\begin{eqnarray} S^1. \end{eqnarray}$ Es werden in $\begin{eqnarray} [0,2\pi) \end{eqnarray}$ weniger Bedingungen an eine Menge gestellt, um Umgebung von 0 zu sein als in $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ um Umgebung von (1,0) zu sein. Man kann auch daran, dass $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ kompakt ist und das halboffene Intervall nicht, erkennen, dass die Abbildung kein Homöomorphismus sein kann.
30.06.2012, 11:18	Hammala	Auf diesen Beitrag antworten »
und wieso ist die Abb. f kein Hömoomorphismus, was ist die Umkehrabbildung?

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