Anwendung Satz v. Alexander

09.03.2012, 15:06

Gast11022013

Anwendung Satz v. Alexander

Meine Frage:
Beweisen Sie mittels des Subbasis-Satzes von Alexander, daß das Einheitsinvervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ kompakt ist!

Zur Erinnerung (Subbasis-Satz von Alexander):
Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ eine Subbasis des topologischen Raums X. Genau dann ist X kompakt, wenn jede Überdeckung von X mit Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ eine endliche Überdeckung enthält.

Meine Ideen:
Moin!

Also erstmal die Vorbereitungen.

Betrachte den topologischen Raum $\begin{eqnarray*} ([0,1],\mathcal{O}_{\mathbb R}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ die Spurtopologie auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ bezeichnen soll bzw. die von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ induzierte Topologie.

Jetzt müsste ich ja erstmal eine Subbasis dieses topologischen Raums finden. Dann eine Überdeckung mit Mengen aus dieser Subbasis und dann eine endliche Überdeckung...

Fange ich mit der Subbasis an.
Ich muss jede Menge aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_{\mathbb R}=\left\{[0,1]\cap O~|~O\in\mathcal{O}\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ die natürliche Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bezeichnet, darstellen können als eine Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus der zu findenden Subbasis.

Die offenen Mengen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bezüglich der natürlichen Topologie sind die offenen Intervalle.

Ich habe mir deswegen jetzt erstmal überlegt, wie die Mengen von $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ so aussehen:

$\begin{eqnarray*} [0,1]\cap (a,b)=\begin{cases} [0,1], & a<0,b>1\\ (0,1), & a=0,b=1 \\ (a,1], & 0<a<1,b>1\\ [0,b), & a<0,0<b<1\\ (a,b), & 0<a<1,0<b<1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

So richtig erkenne ich jedoch nicht, was jetzt eine Subbasis sein könnte...

10.03.2012, 12:58

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$\begin{eqnarray*} S=\{[0,x[, 0<x<1\}\cup \{]y,1], 0<y<1\}\ \end{eqnarray*}$

10.03.2012, 13:13

Gast11022013

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Wie kann man $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ dann als Überdeckung mit Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ schreiben?

11.03.2012, 01:11

Ungewiss

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Schau dir mal den Thread über den Satz von Alexander an, in dem wir so viel rumgerätselt haben, besonders die posts von gonnabphd.

11.03.2012, 10:43

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Dass S eine Subbasis ist, kannst du auch schnell nachprüfen, das solltest du zuerst tun. Dann:

Zitat:

Original von Dennis2010
Wie kann man $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ dann als Überdeckung mit Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ schreiben?

Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} [0,0.7[,[0,0.9[,[0,0.2[,]0.4,1],]0.3,1] \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von [0,1].
Und hier siehst du gleich die Teilüberdeckung, auf die es hinausläuft: $\begin{eqnarray*} [0,0.9[,]0.4,1] \end{eqnarray*}$ , "Nimm das größte Intervall aus der einen Menge von S (d.h. aus {[0,x[,0<x<1} ) und das größte aus der anderen (also {]y,1[,0<y<1} ). Die zwei müssen schon [0,1] überdecken. Ein bisschen musst du da allerdings noch argumentieren, denn bei einer unendlichen Überdeckung ist das nicht unmittelbar so klar, stimmt aber trotzdem.

11.03.2012, 10:47

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Ähh, [0,0.9[,]0.3,1] ist die Teilüberdeckung aus zwei Intervallen ~

11.03.2012, 20:36

Gast11022013

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Allgemein würde ich so argumentieren:

Man hat ein Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , das man überdecken möchte.

Dann bilden $\begin{eqnarray*} \left\{[a,c[~|~ a<c<b\right\}\cup\left\{]d,b]~|~a<d<b\right\} \end{eqnarray*}$ eine Subbasis der induzierten Topologie auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .

Dann sei $\begin{eqnarray*} e:=\sup\left\{c~|~[a,c[\right\} \end{eqnarray*}$ .

Dann gibts ein $\begin{eqnarray*} d_1<e \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ]d_1,b] \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_1<c_1\leq e \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [a,c_1[ \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Mengen $\begin{eqnarray*} [a,c_1[ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ]d_1,b] \end{eqnarray*}$ überdecken $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .

Meinst Du das mit unendliche Überdeckung?

$\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ muss doch kleiner als $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ sein, oder kann es auch gleich $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ sein?

bzw. ich frage mich gerade, wieso es ein $\begin{eqnarray*} d_1 <e \end{eqnarray*}$ gibt... verwirrt

12.03.2012, 09:34

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Bist auf dem richtigen Weg.

Seien $\begin{eqnarray*} e:=\sup\{c: [a,c[\in S\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:=\inf\{d: ]d,b]\in S\} \end{eqnarray*}$

Kann $\begin{eqnarray*} e\leq f \end{eqnarray*}$ passieren, während S ganz [a,b] überdeckt?

Also e>f. Jetzt könnte zum Beispiel $\begin{eqnarray*} [a,e[\in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ]f,b]\in S \end{eqnarray*}$ (so ists in den endlichen Fällen), dann ist man sofort fertig. Im Allgemeinen ist aber nur $\begin{eqnarray*} [a,e_n[ \in S \end{eqnarray*}$ mit einer Folge $\begin{eqnarray*} e_n \nearrow e \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} ]f_n,b[ \in S \end{eqnarray*}$ mit einer Folge $\begin{eqnarray*} f_n \searrow d \end{eqnarray*}$ .

....... und so weiter smile

Musst hier einfach ein paar Fälle abhandeln.

12.03.2012, 09:38

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Ähm, am Schluss natürlich $\begin{eqnarray*} f_n \searrow f \end{eqnarray*}$ , nicht gegen d ^.^

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