stetigkeit epsilon delta kriterium - wie delta waehlen?

19.01.2007, 17:10

ohcibi

stetigkeit epsilon delta kriterium - wie delta waehlen?

hi,

also die definition fuer die stetigkeit einer funktion in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ is ja bekannt, um zum beispiel zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ stetig ist waehlt man $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\varepsilon}{\left| x_0\right| + 1} \end{eqnarray*}$ oder so aehnlich......

leider fehlt in meinen studienaufzeichnungen wie man nun darauf kommt dieses delta zu waehlen.... kennt da vielleicht einer jetz auf anhieb den weg, bzw. die vorgehensweise dafuer?

19.01.2007, 20:36

sqrt(2)

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Man möchte

$\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0|=|x-x_0||x-x_0+2x_0|\leq|x-x_0|(|x-x_0|+2|x_0|)\leq\delta(\delta+2|x_0|) \end{eqnarray*}$

kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ machen. Der Punkt ist, dass der Term in der Klammer rechts beschränkt ist, und man durch Wahl eines hinreichend kleinen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ immer kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ wird.

Wenn du jetzt speziell ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ möchtest, setze $\begin{eqnarray*} \delta:=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+2|x0|}\right\} \end{eqnarray*}$ , denn dann kannst du abschätzen

$\begin{eqnarray*} \delta(\delta+2|x_0|)\leq\delta(1+2|x_0|)\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

22.01.2007, 00:07

ohcibi

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hm das beantwortet mein gesuch noch nich ganz..... die frage is wie ich auf diesen term $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{1+\left| x_0\right|} \end{eqnarray*}$ ueberhaupt erst kommen kann, welche ueberlegungen ich dazu anstellen muss......

22.01.2007, 00:18

sqrt(2)

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Steht alles da oben...

22.01.2007, 09:49

ohcibi

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ich liebe solche "produktiven" beitraege 8-)) wie son lehrer:

Zitat:

schueler: ich hab das was im buch steht nich ganz verstanden
herr sqrt(2): dann guck ins buch

lol

nein im ernst: wie kommt man denn nun auf diesen term; wenn ich da nur ne ungleichung loesen muss hab wohl etwas zu kurz gedacht, aber mich irritiert, dass da bei aufloesung von $\begin{eqnarray*} \delta \left( \delta + 2\left| x_0 \right|\right) \end{eqnarray*}$ ja eigentlich ein $\begin{eqnarray*} \delta^2 \end{eqnarray*}$ vorhanden is und das in dem term gar nich erkennbar is.......?

23.01.2007, 14:47

ohcibi

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will mir keiner helfen oder sind alle anderen auch der ansicht, dass "alles da oben steht"?? ich meine es muss doch irgendwie zu beschreiben sein, wie man diese delta waehlt?

23.01.2007, 15:30

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Die obige Schranke $\begin{eqnarray*} \min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+2|x0|}\right\} \end{eqnarray*}$ ist durchaus nicht notwendig, sondern nur hinreichend, aber mehr braucht man ja auch nicht. Und sie ermöglicht elegant die nachfolgende Abschätzung.

Eleganz ist schlecht erlernbar. Auf "normalen" Weg kannst du ja auch die quadratische Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \delta(\delta+2|x_0|) \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ auflösen, bleibt dir ja überlassen. Augenzwinkern

EDIT: Tippfehler...

23.01.2007, 20:38

ohcibi

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Zitat:

Original von Arthur DentAuf "normalen" Weg kannst du ja auch die quadratische Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \delta(\delta+2|x_0|) \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ auflösen, bleibt dir ja überlassen. Augenzwinkern

okay, so haben wir heute in der uni nauch gedacht, also muss es fuer den beweis der stetigkeit gar nich diese spezielle loesung sein, die ich da gepostet hab sondern es reicht (mal etwas allgemeiner jetz), wenn ich den term $\begin{eqnarray*} \left| f\left( x \right) - f\left( x_0 \right) \right| \end{eqnarray*}$ solange umforme, bis ich irgendwie $\begin{eqnarray*} \left| x - x_0 \right| \end{eqnarray*}$ durch delta ersetzen kann um dann zu sagen: dieser neue term mit delta ist groesser als der umgeformte term, da besagter umgeformter term kleiner als der term mit delta is kann ich den term mit delta mit epsilon gleichsetzen und nach delta aufloesen, womit ich dann bei erwaehnter quadratischer gleichung waer..... richtig?

habe ich mich also demnach von dieser speziellen loesung $\begin{eqnarray*} z = \frac{\varepsilon}{1 + \left| 2x_0 \right|} \end{eqnarray*}$ zu sehr ablenken lassen und es ginge auch oben beschriebener weg, oder habe ich immer noch nich begriffen wie man von dieser quadratischen gleichung auf diese loesung $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ kommt?

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