Ursprungsgeraden der Tangenten von f bestimmen

09.03.2012, 17:00	Alesis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ursprungsgeraden der Tangenten von f bestimmen Meine Frage: Hallo leute, es geht um folgende Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit $\begin{eqnarray} f(x) = ln(x)^{2} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie diejenigen Ursprungsgeraden die Tangenten von dem Graph f sind. Meine Ideen: Also ich hab schon bisschen gegooglet und weiss auch die Lösungen, allerdings finde ich es wichtig die Schritte nachzuvollziehen. Man weiß ja, dass die Ursprungsgerade aufjedenfall durch den Punkt (0\|0) geht. Das heißt wir haben schonmal: y = mx + b b = 0 ; also -> y = mx m ist die Ableitung von f, also: m = f'(x) y = f'(x)x $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{2ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = f'(x) = \frac{2ln(x)}{x} x \end{eqnarray}$ y = 2ln(x) (Hier ist meine erste Frage. Warum hat das x von der Tangente den selben Wert wie das x von der ersten Ableitung, sodass man beide wegkürzen kann?) Als nächstes setzt man die tangentengleichung y = 2ln(x) mit f(x) gleich, also: $\begin{eqnarray} 2ln(x) = ln(x)^{2} \end{eqnarray}$ x = e^{2} Weiter weiss ich gerade nicht, aber hier wäre meine zweite Frage: Wieso muss man die gleichsetzen, also die Berührpunkte der beiden Funktionen rausfinden? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
09.03.2012, 17:23	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Alesis, soweit ist ja alles richtig. Für die Tangentengleichung gilt y=mx, also y=f'(x)x Zu Frage 1: Das Wegkürzen klappt hier zufällig, weil f' nun mal diese Form hat. Zu Frage 2: Die Tangente soll an der Stelle x0 berühren. Dort sind also - die Funktionswerte gleich: f'(x0)*x0 = f(x0) - die Anstiege gleich: m=f'(x0)
09.03.2012, 19:00	Alesis	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab soweit verstanden, dass man y = mx + b nimmt. b ist 0, also y = mx. Ich versuche die ganze Zeit nachzuvollziehen, warum man y = f'(x) x macht, was dies ist, und warum man es gleichsetzen muss...
09.03.2012, 20:57	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist dir die Tangentenglg noch nicht klar. m ist doch der Anstieg der Tangente. An der Berührungsstelle (ich habe sie mit x0 bezeichnet) muss der Anstieg der Funktion f gleich dem Anstieg m der Tangente sein (sonst wäre es ein Schnitt und keine Berührung). Naja, wie ermittelt man den Anstieg m, also auch den von f an dieser Stelle?
09.03.2012, 21:39	Alesis	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von thk Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist dir die Tangentenglg noch nicht klar. m ist doch der Anstieg der Tangente. An der Berührungsstelle (ich habe sie mit x0 bezeichnet) muss der Anstieg der Funktion f gleich dem Anstieg m der Tangente sein (sonst wäre es ein Schnitt und keine Berührung). Danke !!! Ich glaube ich hab's jetzt: Sowie du sagst, muss an der Berührungsstelle der Anstieg der Funktion f gleich dem Anstieg m der Tangente sein. Um den Schnittpunkt zwischen einer Tangente und dem Graphen herauszufinden, setzen wir erst y=mx+0 und f(x) gleich. f(x) = mx+0 Jetzt müssen wir wissen, an welcher Stelle f(x) die selbe Steigung hat wie y=mx+0, sonst würden sich die zwei Funktionen schneiden und nicht berühren, was ja erforderlich für die Tangente ist. Da die Ableitung von f(x) die Steigung angibt, müssen wir einfach die 1. Ableitung für m einsetzen, also: f(x) = f'(x)*x+0. Jetzt nach x auflösen, damit wir wissen für welches x die Steigung der Ursprungstangente entspricht. Um die Ursprungstangente dann anzugeben, müssen wir einfach f'(x) rechnen. Hab ich das so richtig verstanden?
09.03.2012, 21:54	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich musste das 3x lesen und mir zwischendurch die Augen reiben. Wenn du mit "Schnittpunkt" in dem Fall den Berührungspunkt meinst, dann haut es hin. Das dürfte dann auch dem entsprechen, was ich um 17:23 versucht habe zusammenzufassen. Also Quintessenz: Am Berührungspunkt ist Anstieg der Tangente gleich dem Anstieg der Funktion: m=f'(x) (nicht nur bei Ursprungstangenten). Hast du völlig richtig erkannt
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09.03.2012, 22:03	Alesis	Auf diesen Beitrag antworten »
^^ Ich bin schon seit ca. 13 Uhr an dieser Aufgabe dran und ich glaube ich hab's jetzt endlich verstanden. Tut mir leid für meine blöde Erklärung vorhin. Mit "Schnittpunkt" meinte ich auch ein Schnittpunkt. Weil y = mx+0 wär ja ein Schnittpunkt. Nur y = f'(x)x+0 wär ein Berührungspunkt, wenn man es gleichsetzt mit f(x) Vielen vielen Dank, warst mir eine große Hilfe !
09.03.2012, 22:12	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön dass es geklappt hat. Musst dich für nix entschuldigen und die Erkl. war ja an sich ok. Wollte nur warnen allzu lange "Rezepte" zu lernen. Da reibst du dich auf und die nützen nicht immer was.

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