Gini-Koeffizient

09.03.2012, 17:42

T0b1a5

Gini-Koeffizient

Hallo Leute,

habe eine Frage zum Gini-Koeffizient.

Aufgabe
10 Notenbanken besitzen zusammen 1000 Tonnen Gold (davon die Größte 500t und die Kleisnte 0t). Um wieviel ändert sich der Gini-Koeffizient der Goldverteilung, wenn die größte Notenbank eine Tonne Gold an die kleinste transferiert (ohne, dass die Rangfolge sich ändert)? Berechnen Sie die Differenz: alter Koeffizient - neuer Koeffizient!

Ansatz/Idee
Sei $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die i-te Bank. Dabei nehme ich an, dass:
$\begin{eqnarray*} X_1=500 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} X_{10}=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \sum^9_{i=2}X_i=500 \end{eqnarray*}$ .
Weiter nehme ich an, dass somit:
$\begin{eqnarray*} X_i=\frac{500}{8}=62{,}5\forall i=2{,}\dots{,}8 \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun kann ich mit der Formel für den Gini-Koeffzienten:
$\begin{eqnarray*} G(X)=\frac{\bigtriangleup X}{2\cdot \bar{X}_a} \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} \bigtriangleup X = \frac{1}{n^2} \sum^n_{i=1} \sum^n_{j=1} |x_i-x_j| \end{eqnarray*}$

Nun kann ich den Koeffizienten für beide Reihen ausrechnen und hatte 0,07 raus (bin mir gerade unsicher).

Meine Frage
Das kann man mit Sicherheit eleganter lösen, oder? Ich treffe hier mehrere Annahmen, die zwar keine Auswirkung auf den Gini-Koeffizienten haben, aber es existiert mit Sicherheit eine Eigenschaft, die etwas über die Transformation der Zahlen in der Aufgabe sagt.

Danke schon mal smile

10.03.2012, 00:30

frank09

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RE: Gini-Koeffizient

Zitat:

Das kann man mit Sicherheit eleganter lösen, oder?

Vor allen Dingen auch sehr viel einfacher:

Auf der Graphik sieht man die Verteilung in Form der Lorenz-Kurve. Vorgegeben sind die beiden schwarzen Punkte. Die untere schwarze Linie für voher, die rote Linie für nach dem Transfer einer Tonne. Man sieht, dass der Graph zwischen 1 und 9 um eine Einheit parallel nach oben verschoben wurde (Wegen der Übersicht sind es ca. 10 t). Der Gini-Koeffizient drückt nun das Verhältnis zwischen der Fläche unter dem schwarzen/roten Graphen und der Fläche unter der Gleichverteilungslinie (blau) aus. Den Unterschied macht der rote Bereich aus, der leicht zu errechnen ist.

10.03.2012, 09:55

T0b1a5

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Okay, graphisch lösen wäre auch eine Möglichkeit, danke schon mal Augenzwinkern

Allerdings befriedigt mich das noch nicht vollkommen, da diese Aufgaben für das Repititorium angekündigt wurden und sowohl in der VL als auch in den Übungen hatten wir nie einen graphischen Lösungsweg.
Daher muss es doch auch über eine lineare Transformation des Gini-Koeffizienten gehen. Aber an der Stelle holt mich wieder meine Annahme ein, dass $\begin{eqnarray*} X_2= \dots = X_9 = 62,5 \end{eqnarray*}$ traurig

Graphisch ist es sehr anschaulich, aber ich denke nicht, dass man in der Klausur anfängt, die Aufgaben zu malen smile

Ich hoffe du verstehst meinen Drang nach einer rechnerisch perfekten Lösung Hammer

11.03.2012, 01:25

frank09

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Zunächst möchte ich mal darauf hinweisen, dass der Gini-Koeffizient sich von der Lorenz-Kurve, also einer graphischen Darstellung ableitet. Es geht hier nicht darum, dass du irgendetwas "malen" sollst, um einer Rechnung aus dem Weg zu gehen, sondern dass alle Formeln zur Berechnung (von denen es nicht nur "deine" gibt) dazu dienen, eine Fläche zu bestimmen. Wie wichtig dieser Zusammenhang ist, sieht man ja daran, dass es dir sicher möglich wäre, die Fläche des roten Bereichs mit Trapez-, und Dreiecksformeln zu berechnen, wohingegen du an "deiner" Formel scheiterst. An der Parallelverschiebung sieht man z.B., dass der rote Bereich zw. 1 und 9 immer die Fläche 8 hat, unabhängig von der Wahl der $\begin{eqnarray*} X_2-X_9 \end{eqnarray*}$ !

Wenn du davon ausgehst, dass $\begin{eqnarray*} x_1=0/x_{10}=500 \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} x_1'=x_1+1=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_{10}'=x_{10}-1=499 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_i'=x_i \end{eqnarray*}$ sonst
gilt ja
$\begin{eqnarray*} \sum^9_{i=2} \sum^{10}_{j=1} |x_i'-x_j'|=\sum^9_{i=2} \sum^{10}_{j=1} |x_i-x_j|-16 \end{eqnarray*}$
außerdem
$\begin{eqnarray*} \sum^{10}_{j=1} |x_1'-x_j'|= \sum^{10}_{j=1} |x_1-x_j|-10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x'_{10} \end{eqnarray*}$ entspr.

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