Konfidenzintervall

09.03.2012, 17:50

T0b1a5

Konfidenzintervall

Hallo nochmal,

kurz und knackig:

Aufgabe
Eine Partei beauftragt ein Meinungsforschungsinstitut, per Zufallsstichprobe ihren aktuellen Wähleranteil zu ermitteln. Wie groß muss die Stichprobe mindestens sein, damit ein 95%-Konfidenzintervall für den wahren aber unbekannten Wähleranteil auf jeden Fall kleiner als 1% ist?

Idee
Jede Formel die ich zu Konfidenzintervallen finde, setzt eine Wählermenge n voraus. Suche ich eine Formel um n zu bestimmen, benötige ich die Länge des Konfidenzintervalls. Ich drehe mich leider im Kreis.

Kann mir jemand einen Stupser in die richtige Richtung geben?

Danke smile

09.03.2012, 19:17

Dopap

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Du meinst mit n doch den Stichprobenumfang?

Das 95% ( Sicherheits- ) Intervall hat doch die Breite von 1% ( des unbekannten p's ) ? oder?

meine Meinung.

09.03.2012, 20:11

T0b1a5

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Ja, n ist hier der Stichprobenumfang.

Meinst du wirklich, dass das 95% Intervall die Breite von 1% des unbekannten p's hat, oder doch eher 1% des ebenfalls unbekannten n's ?
Aber mit dem Gedankengang komme ich auch nicht weiter. Irgendwie fehlt mir hier was :\

09.03.2012, 20:25

Dopap

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1% des Stichprobenumfangs erscheint mir sinnlos.

Da bleib ich lieber bei 1% Breite des in Prozenten angegebenen Anteils der Partei.

im Klartext: ob FDP oder CDU , der prognostizierte relative Anteil soll sich innerhalb eines Prozentpunktes(!) mit einer Sicherheit von 95% bewegen.

Sprachlich verständlich?

09.03.2012, 20:47

Huggy

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Man kann den benötigten Sichprobenumfang wie folgt bestimmen:

Man gehe davon aus, dass n und das unbekannte p es zulassen, die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung anzunähern. Man gehe weiter davon aus, dass man das Konfidenzintervall auch wie bei einer Normalverteilung bestimmen darf. Es sei $\begin{eqnarray*} \hat p \end{eqnarray*}$ der Wähleranteil in der Stichprobe. Dann ist das 95 % Konfidenzintervall für den Mittelwert der Normalverteilung:

$\begin{eqnarray*} n \hat p \pm 1.96\sqrt {n \hat p(1-\hat p)} \end{eqnarray*}$

Das Konfidenzintervall für p ist also:

$\begin{eqnarray*} \hat p \pm 1.96 \sqrt {\frac {\hat p(1-\hat p)}{n}} \end{eqnarray*}$

Möchte man eine Genauigkeit $\begin{eqnarray*} \pm \Delta p \end{eqnarray*}$ erreichen, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} 1.96 \sqrt {\frac {\hat p(1-\hat p)}{n}} \leq \Delta p \end{eqnarray*}$

Das nach n umgestellt ergibt den benötigten Stichprobenumfang. Da man $\begin{eqnarray*} \hat p \end{eqnarray*}$ noch nicht kennt, setze man dafür den ungünstigsten Wert ein, nämlich 1/2.

@Dopap
Ich finde es bewundernswert, wie du immer wieder auch dort zu helfen versuchst, wo du keine Ahnung hast.

10.03.2012, 09:58

T0b1a5

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Danke schon mal smile

Die von dir benutzte Formel für den Mittelwert (ist doch nur ein anderes Wort für den Erwartungswert, oder?) ist mir leider unbekannt und auch nicht in meiner VL vorhanden.
Weiter frage ich mich, wie du auf den Faktor 1,96 dabei kommst?

Kannst du vielleicht noch kurz erklären, wo dies herstammt?

Danke smile

10.03.2012, 10:30

Huggy

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Zitat:

Original von T0b1a5
Mittelwert (ist doch nur ein anderes Wort für den Erwartungswert, oder?)

Ja.

Es sei p die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Anhänger einer bestimmten Partei ist. Dann folgt die Zahl X der Personen, die sich in einer Stichprobe vom Umfang n zu der Partei bekennen, einer Binomialverteilung mit Parameter p:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq k) = \mathcal B (k|n, p) \end{eqnarray*}$

Nach einer Faustformel kann für $\begin{eqnarray*} np(1-p) > 9 \end{eqnarray*}$ diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu = np \end{eqnarray*}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt {np(1-p} \end{eqnarray*}$ angenähert werden. Das solltet ihr gehabt haben. Und meine Formel ist nun einfach das Konfidenzintervall für den Mittelwert dieser Normalverteilung. Der Faktor 1,96 kommt ebenfallls aus der Normalverteilung. 95 % ihrer Werte liegen in dem Intervall $\begin{eqnarray*} \mu \pm 1.96 \sigma \end{eqnarray*}$ . Dieser Faktor für das 95 % Vertrauensintervall überträgt sich bei der Normalverteilung auf das entsprechende Konfidenzintervall.

10.03.2012, 12:22

T0b1a5

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Okay, für die Faustformel, bzw. die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung hatten wir gegeben, dass gelten muss:

$\begin{eqnarray*} n \geq 30 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \cdot p \geq 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \cdot (1-p) \geq 10 \end{eqnarray*}$

Aber das ändert ja nichts Augenzwinkern

Ich schreibe mal meine weiteren Gedanken nieder:

Ich frage mich gerade nur, was deine Unbekannte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ darstellen soll, bzw. welche Grenze die realisiert.
Klar ist, wie man Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung berechnet. Klar ist jetzt auch, dass $\begin{eqnarray*} 1{,}96 = u_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray*}$ aus den Quantilen der Standardnormalverteilung folgt.
Wieso liegen nun alle Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} \mu \pm 1{,}96 \cdot \sigma \end{eqnarray*}$ ? Ich hier nur folgendes:
Wenn jede Zufallsvarible bernoulliverteilt ist, dann liegen alle Werte im KI:
$\begin{eqnarray*} \overline{X} \pm u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{X}_a \cdot (1-\overline{X_a})}{n}} \end{eqnarray*}$
Du drückst den Bruch als $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ aus

Mache ich mir das Leben zu schwer ?

10.03.2012, 13:24

Huggy

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Zitat:

Original von T0b1a5
Ich frage mich gerade nur, was deine Unbekannte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ darstellen soll, bzw. welche Grenze die realisiert.

Ich dachte, das hätte ich oben klar gesagt. Vielleicht hilft ein Beispiel. Wenn man 1000 Personen befragt und 321 bekennen sich zu der Partei, dann ist k = 321. Es ist dann $\begin{eqnarray*} \hat p = k/1000 = 0.321 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wieso liegen nun alle Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} \mu \pm 1{,}96 \cdot \sigma \end{eqnarray*}$ ? Ich hier nur folgendes:
Wenn jede Zufallsvarible bernoulliverteilt ist, dann liegen alle Werte im KI:
$\begin{eqnarray*} \overline{X} \pm u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{X}_a \cdot (1-\overline{X_a})}{n}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mal annehme, das dein $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ ganz links auch $\begin{eqnarray*} \overline {X_a} \end{eqnarray*}$ sein soll, dann hast du mit $\begin{eqnarray*} \hat p = \overline {X_a} \end{eqnarray*}$ doch meine Formel

$\begin{eqnarray*} \hat p \pm 1.96 \sqrt {\frac {\hat p(1-\hat p)}{n}} \end{eqnarray*}$

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