Wahr oder falsch?

09.03.2012, 18:22

marocaine

Wahr oder falsch?

Hallo Mathegemeinde,

im Rahmen einer Vorlesung über Ökonometrie tauchte folgende Aufgabe auf:

Gilt E ( X^3) = int f(x^3) dx ?

X ist eine stetige Zufallsvariable.

Ich hätte argumentiert, dass das falsch ist, weil beispielsweise die Funktion einer gleichverteilten Dichte über [a,b] unabhängig vom Argument x ist, somit das kubische Argument keinen Einfluss auf den Wert dessen globalen Integrals hat, während jedoch der Erwartungswert der kubischen Zufallsvariable (so fern sie unabhängig von den vorigen Ergebnissen ist, was ich vorraussetze) dann E(X)^3 entsprechen sollte. Gleichheit wäre demnach unmöglich (außer E(X)=1 oder 0).

Zunächst: Stimmt das überhaupt, was ich da sage?
Dann: Wenn ja, wie kann ich die Ungültigkeit allgemein algebraisch herleiten? Die rechte Seite zu integrieren bekomme ich nicht hin und ein Versuch mit WolframAlpha gibt mir aus, das Integral sei nicht elementar integrierbar. Mit der linken habe ich herumgespielt, indem ich E(X) durch int x f(x) dx ersetzt und das Ganze ausmultipliziert habe. Ich bin dabei jedoch auf keine Darstellung gekommen, die mich näher an einen Beweis gebracht hätte.

Könnt ihr mir da mit einem Ansatz aushelfen?

Danke und beste Grüße
maro

09.03.2012, 18:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von marocaine
Gilt E ( X^3) = int f(x^3) dx ?

X ist eine stetige Zufallsvariable.

Nein, stattdessen

$\begin{eqnarray*} E(X^3) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^3f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

sofern du mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wie üblich die Dichte der stetigen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ meinst.

10.03.2012, 09:24

marocaine

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Genau die meinte ich. Danke für die Antwort!

Nach welcher Integralrechenregel kann ich E(X^3) überführen in deine Darstellung? Es leuchtet mir unmittelbar ein, wie man dazu kommt, kenne dazu aber nicht die allgemeine Rechennorm.

10.03.2012, 09:39

HAL 9000

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Der Erwartungswertoperator bedeutet erstmal per Definition die Integration bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes:

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) := \int\limits_{\Omega} g(X(\omega)) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$

Per Transformationssatz beim Übergang zum Verteilungsmaß $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd P_X(x) \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nun stetig, dann besitzt $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ die Radon-Nikodym-Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ , und es folgt

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \int\limits_{\mathbb{R}} g(x)f_X(x) ~ \dd x \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Das gilt für jede messbare Funktion, sofern das entstehende Integral (*) existiert, z.B. also auch für $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ .

11.03.2012, 17:42

marocaine

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Danke. Das ist ausführlich und verständlich. smile

Gutes Forum!

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