stetige Abb./ komp. Raum/ Hausdorff

09.03.2012, 18:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
stetige Abb./ komp. Raum/ Hausdorff Meine Frage: Beweisen Sie folgende Aussage: Jede stetige Abb. $\begin{eqnarray} f\colon X\to Y \end{eqnarray}$ des kompakten topologischen Raums X in den Hausdorff-Raum Y ist abgeschlossen. Ist f injektiv (bijektiv), so ist f eine Einbettung (ein Homöomorphismus). Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} A\in X \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Dann ist A kompakt, da jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt ist. Da f stetig ist, ist dann auch f(A) kompakt. Zudem ist f(A) als kompakte Teilmenge des Hausdorffraums Y auch abgeschlossen. Also ist f abgeschlossene Abbildung. Aber mit dem Rest komme ich nicht klar. Edit: Okay, das mit der Einbettung kriege ich vielleicht doch noch hin: $\begin{eqnarray} f\colon X\to Y \end{eqnarray}$ ist Einbettung genau dann, wenn f injektiv ist, stetig ist und für jedes offene $\begin{eqnarray} U\subseteq X \end{eqnarray}$ die Bildmenge $\begin{eqnarray} f(U) \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} f(X) \end{eqnarray}$ ist: Stetig und injektiv ist hier nach Annahme erfüllt. Sei $\begin{eqnarray} O\subseteq X \end{eqnarray}$ offen. Betrachte die abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray} X\setminus O \end{eqnarray}$ . Weil f injektiv ist, gilt: $\begin{eqnarray} f(X\setminus O)=f(X\cap O^{C})=f(X)\cap f(O^{C})=f(X)\setminus f(O) \end{eqnarray}$ . Dann ist nach Obigem $\begin{eqnarray} f(X)\setminus f(O) \end{eqnarray}$ abgeschlossen in Y und dann auch abgeschlossen in dem Unterraum $\begin{eqnarray} f(X) \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} f(O) \end{eqnarray}$ offen in f(X). Damit ist f Einbettung. Aber das mit dem Homööomorphismus ist mir doch noch unklar. f muss dazu bijektiv sein (ist es nach Annahme), stetig sein (das ist es ebenfalls nach Annahme) und $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ muss auch stetig sein (das sehe ich noch nicht). $\begin{eqnarray} f^{-1}:Y\to X \end{eqnarray}$ . Edit 2: Achso, daß die Umkehrfunktion stetig ist, heißt ja, daß die Funktion f offen ist.... Das ist sie ja noch dem Edit 1.
09.03.2012, 22:53	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetige Abb./ komp. Raum/ Hausdorff Hallo, sieht für mich schlüssig aus. Abakus

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