Eulersche phi-Funktion |
| 09.03.2012, 19:40 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Eulersche phi-Funktion Abend Leute, ich habe mal eine Frage zur eulerschen phi-Funktion. Also wie man diese für natürliche Zahlen und Primzahlen berechnet ist mir bewusst. Doch was hat man zum Beispiel mit dieser Rechnung bewiesen? phi(15) = phi(3) x phi(5) = (3 x 1) - (5 x 1) = 2 x 4 = 8 Meine Ideen: Hab' ich jetz bewiesen, dass die eulersche phi-Funktion von der Zahl 15 8 lautet? Obwohl, naja..das wäre doch eigentlich 14 oder nicht? |
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| 09.03.2012, 19:44 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Eulersche phi-Funktion Bitte nicht copy paste verwenden, das ist so nicht lesbar, was sollen die ganzen ? und wieso so viele Smileys?
So, noch mal die Gleichung.....
Was gibt die Phi Funktion denn an? |
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| 09.03.2012, 19:46 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
tut mir leid das phi-zeichen wurde nicht anerkannt die eulersche phi-funktion gibt die Anzahl der positiven, ganzen Zahlen an, die kleiner gleich n und teilerfremd zu n sind, an. |
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| 09.03.2012, 19:48 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"(3 x 1) - (5 x 1) = 2 x 4 = 8" das ist falsch...habe mich vertippt es muss lauten: (3 - 1) x (5 - 1) = 2 x 4 = 8 |
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| 09.03.2012, 19:48 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, und es gibt deiner Ansicht nach 14 Zahlen, die zu 15 teilerfremd sind und kleiner als 15 sind? 
Dann wäre 15 eine Primzahl. Naiv gesagt benutzt man bei der Phi Funktion die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl, die Funktion ist Multiplikativ. Wenn du mal so nachrechnest (ohne Phi Funktion), wie viele zu 15 Teilerfremde Zahlen <15 gibt es denn? |
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| 09.03.2012, 19:52 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man das so sieht gäbe es doch gibt nur die 3 und die 5. Also ich hab grade folgendes gelesen "Primzahlen sind dementsprechend nur durch 1 und sich selbst teilbar. Deswegen gilt für Primzahlen bei der eulerschen phi-Funktion die Regel: phi(p) = p – 1." Deswegen habe ich 14 gesagt
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| 09.03.2012, 20:04 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube ich habe es verstanden. Wenn man eine Primzahlfaktorisierung der Zahl durchnehmen kann, dann berrechnet man phi(pq) = (p-1) * (q-q) und es kommt die anzahl der positiven, ganzen Zahlen an die teilfremd zu pq sind wenn man keine primzahlfaktorisierung durchnehmen kann, dann berechnet man man phi(p) = (p-1) zum beispiel phi(13) = (13-1) = 12 |
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| 09.03.2012, 20:16 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, aber das gilt nur für Primzahlen. Also: , für p ist Primzahl. Ist n keine Primzahl, so lässt mn sich in ein Produkt von Primzahlen zerlegen, die Phi Funktion ist multipliaktiv und es gilt: . |
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| 09.03.2012, 20:32 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okey dankeschön, nett vor dir 
aber ist phi(15) = 8 denn jetzt richtig? |
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| 09.03.2012, 20:35 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jap, man kann bei so kleinen Zahlen auch schnell "zu Fuß" überprüfenm die zu 15 teilerfremden Zahlen sind: 1,2,4,7,8,11,13,14 und das sind 8 Stück.... |
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| 09.03.2012, 20:37 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
DANKESEHR!
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| 09.03.2012, 20:59 | Blaubier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hätte mal noch eine frage zu dem Thema. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Aber wieso sagt mir ein bekannntes Online-Lexikon folgendes: "Die Zahl 13 ist als Primzahl zu den zwölf Zahlen 1 bis 12 teilerfremd, also ist". Wieso sollte es teilerfremd zu 1 sein ? ich bin grad völlig verwirrt. |
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| 09.03.2012, 21:01 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil Teilerfremdheit so definiert ist: Zwei Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn ggT(a,b)=1. Damit ist die 1 zu jeder Zahl teilerfremd. Eine andere Definition ist nicht sinnvoll, da sonst auch zwei Primzahlen nicht teilerfremd zueinander wären. |
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| 09.03.2012, 21:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil das für jede ganze Zahl zutrifft! Anscheinend hast du eine falsche Vorstellung vom Begriff "teilerfremd". |
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