Beweis ggT und kgV

19.01.2007, 17:25

ImkeMaus

Beweis ggT und kgV

Hallo, ich muss folgende Aufgabe machen und mir fehlt einfach der Ansatz...ich hab keinen schimmer, wie ich das machen soll.

Also:

$\begin{eqnarray*} \text{a) Beweisen sie: Für } a,b \in \mathbb N \text{ gilt: } a+b \leq ggT(a,b) + kgV(a,b) \end{eqnarray*}$

b) Geben sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, das hier das Gleichheitszeichen gilt.

Ich würde mich über Huilfe sehr freuen! Danke!

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20.01.2007, 00:08

Abakus

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RE: Beweis ggT und kgV
Willkommen im Forum, ImkeMaus Wink

Zitat:

Original von ImkeMaus
Also:

$\begin{eqnarray*} \text{a) Beweisen sie: Für } a,b \in \mathbb N \text{ gilt: } a+b \leq ggT(a,b) + kgV(a,b) \end{eqnarray*}$

Du könntest zunächst a=b und dann o.E. a < b betrachten. Hat nun a einen Teiler, den b nicht hat, gilt zB KGV(a, b) >= 2*b > a + b. Was passiert nun, wenn jeder Teiler von a auch Teiler von b ist ?

Grüße Abakus smile

20.01.2007, 00:42

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Es geht auch eleganter ohne jede Fallunterscheidung, wenn man den Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,b)\cdot \operatorname{kgV}(a,b) = a\cdot b \end{eqnarray*}$

passend einsetzt.

23.01.2007, 12:58

ImkeMaus

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Ok, danke für die Tipps, aber ganz ehrlich? Ich bin da immer noch nicht weiter... Ich weiß einfach nicht wie...gehts vielleicht noch etwas genauer?

23.01.2007, 20:20

Abakus

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RE: Beweis ggT und kgV

Zitat:

Original von Abakus
Du könntest zunächst a=b und dann o.E. a < b betrachten. Hat nun a einen Teiler, den b nicht hat, gilt zB KGV(a, b) >= 2*b > a + b. Was passiert nun, wenn jeder Teiler von a auch Teiler von b ist ?

Versuche das doch mal auszuführen. An welcher Stelle steckst du fest ? Alternativ kannst du auch Arthurs Idee versuchen.

Grüße Abakus smile

23.01.2007, 20:29

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@ImkeMaus

Also Abakus hat ja seinen Weg mehr als ausreichend erläutert, da bist du am Zug...

Falls du es doch mit meiner Idee versuchen willst: Mit den Abkürzungen $\begin{eqnarray*} g=\operatorname{ggT}(a,b), k=\operatorname{kgV}(a,b) \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} a+b \leq g+k \end{eqnarray*}$ nachzuweisen. Mit $\begin{eqnarray*} ab=gk \end{eqnarray*}$ ist das äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} 0 \leq g + \frac{ab}{g} - (a+b) = \frac{1}{g}(g^2-(a+b)g+ab) = \frac{1}{g}(a-g)(b-g) \end{eqnarray*}$

Und dem Term rechts sollte man die Nichtnegativität ansehen.

24.01.2007, 19:39

ImkeMaus

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Vielen Dank...ich denke jetzt hab ich was Sinnvolles raus! Danke! :-)

LG Imke

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