Tychonoff (Beweis)

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Tychonoff (Beweis)
Meine Frage:
Moin, ich versuche gerade den Beweis des Satzes von Tychonoff zu verstehen.

Dieser Satz lautet:

Ein nicht-leerer Produktraum ist genau dann kompakt, wenn jedes kompakt ist.

Meine Ideen:
:

Die Projektionen sind stetig. Deswegen: Ist X kompakt, so ist es auch für jedes .

Das verstehe ich.


:

Seien nun alle kompakt.

Ist Ultrafilter auf X, dann ist der Bildfilter für jedes ein Ultrafilter.

[...]

Hier erstmal STOPP.

Wieso denn das?


Der Bildilter ist doch

Und wieso ist das jetzt ein Ultrafilter?


Edit:

Ist das weil jedes in dem Filter enthalten ist?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Der Bildilter ist doch


Was du schreibst macht keinen Sinn. ist Ultrafilter auf , deshalb kann doch niemals gelten für . verwirrt


Ist der Bildfilter, dann ist eine Menge im Bildfilter genau dann, wenn es eine Menge gibt, so dass .

Benutze nun, dass ein Filter genau dann ein Ultrafilter auf X ist, wenn für beliebiges entweder oder .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ja, das war wirklich ein doofer Fehler, ich meinte auch das, was Du für den Bildfilter geschrieben hast...

Also der Bildfilter ist:

.



Ich würde jetzt sagen (etwas unprofessionell vermutlich ausgedrückt):

In dem Ultrafilter auf X sind doch jetzt Elemente der Form

wobei die ..

und hier alle möglichen "Kombinationen".

Dann gibt es also zu jedem ein , sodaß dann die entsprechende Projektion .


Also alle sind in dem Bildfilter.



Sorry, das ist unschön ausgedrückt, aber ich hoffe, daß es von der Idee her stimmt.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In dem Ultrafilter auf X sind doch jetzt Elemente der Form wobei die .. und hier alle möglichen "Kombinationen".


? Was sollen denn die A_i überhaupt sein (beliebige Teilmengen dürfen es definitiv nicht sein, weil ein Filter so einige Axiome zu erfüllen hat)? Ausserdem sind bei weitem nicht alle Teilmengen eines Produktes die Produkte von Teilmengen der Faktoren.

Um zu zeigen, dass der Bildfilter auch wieder ein Ultrafilter ist, musst du zeigen, dass wir für jede beliebige Teilmenge haben:



Dazu musst du bloss den Definitionen nachrennen. (Nimm z.B. an, C ist nicht im Bildfilter drin und zeig, dass dann das Komplement im Bildfilter ist)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Angenommen, .



verwirrt


Edit:




Ich habe wohl eine Denkblockade, denn ich komme partout nicht drauf.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kaue ich noch ein weiteres Stückchen vor: Nehmen wir an . Dann ist und folglich ...

Was hat mit dem Komplement von C zu tun? Was sagt dir das über aus.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal eingeschoben eine andere Frage.

Der Beweis dieser Richtung beginnt ja damit, daß man sagt, auf X habe man einen Ultrafilter.


Woher weiß man eigentlich, dass es einen solchen gibt?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer Anwendung des Zornschen Lemmas erhält man, dass es zu jedem Filter einen Ultrafilter gibt, welcher diesen enthält (betrachte die Menge aller Filter, welche den gegebenen Filter enthalten, partiell geordnet über Inklusion; dann haben alle Ketten eine obere Schranke - nämlich die Vereinigung aller Filter in der Kette - und damit existiert ein maximales Element. Ein solches maximales Element ist ein Ultrafilter).

Dann bekommt man z.B. zum trivialen Filter {X} einen Ultrafilter, oder zu jedem Punkt x aus X bekommt man zum Umgebungsfilter einen Ultrafilter, etc.

Finde ich jetzt zwar ein bisschen seltsam, wie du wissen kannst, dass X kompakt ist genau dann wenn jeder Ultrafilter konvergiert, aber dir nicht klar ist, dass es überhaupt einen Ultrafilter gibt. verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Was hat mit dem Komplement von C zu tun? Was sagt dir das über aus.


Ich würde sagen, daraus folgt, daß es also ein gibt, nämlich , sodaß



und daß deswegen .
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Jep. Damit hast du die Frage

Zitat:
Und wieso ist das jetzt ein Ultrafilter?


nun beantwortet.

smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön für Deine geduldige Hilfe.




Das mit dem Lemma von Zorn und der Aussage, daß jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist, hatten wir.

Und wieso ist ein Filter auf X?

1.)

Ist nicht aber die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge? verwirrt

2.) endliche Schnitte ergeben immer X und X ist im Filter

3.) .
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1.)

Ist nicht aber die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge? verwirrt


Ja die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Allerdings sehe ich keinen Zusammenhang zur Zeile davor.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten als eine Filtereigenschaft für einen Filter , daß .

Aber wenn die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist...

Wie kann das dann angehen?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wir hatten als eine Filtereigenschaft für einen Filter , daß .


Ja. Das muss auch so sein. Aber den Zusammenhang verstehe ich immernoch nicht.

Was willst du denn konkret aus für jedes folgern, was widersprüchlich ist? verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, sei Filter auf X.

Dann muss gelten .


Folgern möchte ich gar nichts, ich frage mich nur, ob nicht die leere Menge in enthalten ist, weil das doch eine Menge ist und die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist.

Ich wundere mich über die Eigenschaft, daß die leere Menge in einem Filter nicht enthalten sein darf.




Aber ich glaube, der Grund diese Verwunderung ist folgender:

Ein Filter ist ja eine Teilmenge der Potenzmenge von X.

Und daß die leere Menge in dem Filter enthalten wäre, hieße .



Ich habe also wahrscheinlich Menge und Mengensystem verwechselt.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge und nicht Element einer jeden Menge.

Es ist , jedoch ...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

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