Ableitungen berechnen

19.01.2007, 17:46

phoney

Ableitungen berechnen

Hallo zusammen.

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei differenzierbar, $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Ich kenne die Definition, dass für eine Ableitung f'(x) gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt auf das Beispiel

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x+x_0) \end{eqnarray*}$ übertrage, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} f'(x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{f(x+x_0) - f(x_1)}{x+x_0-x_1} \end{eqnarray*}$

Jetzt substituiere ich mal $\begin{eqnarray*} x+x_0 \end{eqnarray*}$ mit a

$\begin{eqnarray*} f'(x_1) = \lim_{a\to x_1} \frac{f(a) - f(x_1)}{a-x_1} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich eigentlich a gegen x_1 laufen lassen. Macht das überhaupt Sinn oder würdet ihr anders an die Aufgabe herangehen?
Weil ich habe hier jetzt keine Vorstellung, wie ich f(a) gegen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ laufen lassen könnte

Beste Grüße
phoney

19.01.2007, 17:50

Leopold

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RE: Ableitungen berechnen
Das ist alles sehr durcheinander, allein schon das:

Zitat:

Original von phoney
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Wenn die eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt:

$\begin{eqnarray*} f: \ x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$

dann kann die andere nicht auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißen. Gib ihr einen neuen Namen, z.B.

$\begin{eqnarray*} g: \ x \mapsto f \left( x + x_0 \right) \end{eqnarray*}$

19.01.2007, 18:24

phoney

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Ok

$\begin{eqnarray*} g(x) = f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich bei mir mit der Definition

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{f(x+x_0) - f(x_1)}{x+x_0-x_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a:=x-x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x_1) = \lim_{a\to x_1} \frac{f(a) - f(x_1)}{a-x_1} \end{eqnarray*}$

Meine Frage bleibt aber die selbe. Ist der Ansatz überhaupt schon richtig? Wenn nicht, wie dann?

19.01.2007, 18:40

Leopold

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Zitat:

Original von phoney
$\begin{eqnarray*} g'(x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{f(x+x_0) - f(x_1)}{x+x_0-x_1} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig. Weder stimmt der Subtrahend im Zähler noch stimmt der Nenner. Warum schreibst du den Differenzenquotienten nicht konsequent für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hin und bringst erst im zweiten Schritt das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ins Spiel? Du willst zu vieles auf einmal machen und schaffst so ein heilloses Durcheinander.

19.01.2007, 18:55

phoney

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Neuer Versuch, mit der Definition

$\begin{eqnarray*} g'(x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{g(x) - g(x_1)}{x-x_1} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Für g(x) setze ich das erst einmal so ein

$\begin{eqnarray*} g'(x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{f(x+x_0) - g(x_1)}{x-x_1} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt weiß ich schon nicht mehr, wie ich den Nenner behandeln soll. Der muss so bleiben?

und was mache ich mit dem g(x_1)? So:

$\begin{eqnarray*} g'(x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{f(x+x_0) - f(x_1+x_0)}{x-x_1} \end{eqnarray*}$

?

Vielen lieben Dank für die Hilfe Augenzwinkern

20.01.2007, 11:47

phoney

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Kann bitte jemand die Rechenschritte in meinem letzten Beitrag durchgucken und mir sagen, was ich falsch gemacht habe und das richtig stellen?

Gruß
phoney

20.01.2007, 12:11

klarsoweit

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Ich weiß zwar nicht, was du damit zeigen willst, aber die Rechenschritte stimmen.

20.01.2007, 12:45

phoney

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Ahja, dankeschön.

Zitat:

Ich weiß zwar nicht, was du damit zeigen willst,

Ich wollte zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei differenzierbar, $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_g(x) := f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Oder fällt dir da etwas günstigeres ein?

20.01.2007, 14:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von phoney
Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_g(x) := f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Du meinst sicherlich:
$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} g(x) := f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Wenn 2 Funktionen differenzierbar sind, dann ist auch ihre Verkettung differenzierbar. Und dazu gibt es die Kettenregel. Kennst du die bzw. darfst du die hier verwenden?

Und was hat das a damit zu tun? verwirrt

20.01.2007, 14:24

phoney

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Zitat:

Und was hat das a damit zu tun? verwirrt

Ups, das kommt bei einer anderen Aufgabe drin vor.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} g(x) := f(x+x_0) \end{eqnarray*}$

Genau das meinte ich, ja.

Zitat:

Und dazu gibt es die Kettenregel.

also rechne ich das ganze so:
$\begin{eqnarray*} h\circ f = h(x) \circ f(x+x_0) = g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g' = (f\circ g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(x_0) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig bzw. die Aufgabe damit gelöst?

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