Für welchen Wert von x gilt...

10.03.2012, 08:50

Rezeptor

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Für welchen Wert von x gilt...

Hi @ all!

Ich habe hier 3 Gleichungen, bei denen ich leider keinen Schimmer habe, wie ich diese lösen soll.

1) $\begin{eqnarray*} ln\left(x^{2} + \left(\frac{1}{2e} \right)^{2} \right) = ln\left(x\right) -1 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} -ln\left(2x\right) = - \left(\frac{5}{2} lnx+ ln\sqrt{x} \right) \end{eqnarray*}$

Lösen Sie nach x auf:

3) $\begin{eqnarray*} cos^{3} \left(2x\right) = b \end{eqnarray*}$ Lösen Sie nach x auf!

Weiss vielleicht jemand mir zu helfen? Wäre sehr dankbar!:-)

10.03.2012, 08:58

lgrizu

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
Was für Ideen bringst du denn selber mit? Womit hast du genau Probleme?

Nutze bei a) die Monotonie der e-Funktion.

10.03.2012, 09:27

Rezeptor

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
Leider habe ich ja keine Ideen, das ist es ja..

Vielleicht sollte man erstmal das $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2e} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{4e^{2} } \right) \end{eqnarray*}$ umwandeln, falls dies überhaupt so möglich ist?

10.03.2012, 09:41

lgrizu

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
`Jap, das ist es.

Dann kann man benutzen, dass gilt $\begin{eqnarray*} e^{\ln (x)}=x \end{eqnarray*}$ und die Potenzgesetze verwenden.

10.03.2012, 09:52

Rezeptor

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
Hmm, da habe ich dennoch keine Idee, wieich das jetzt genau darauf anwenden soll..

10.03.2012, 09:58

lgrizu

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
Es ist:

$\begin{eqnarray*} \ln \left( x^2 + \frac{1}{4e^2} \right) = \ln (x) -1 \end{eqnarray*}$ , wir wendn die e-Funktion an, also erhalten:

$\begin{eqnarray*} \exp \left( \ln \left( x^2 + \frac{1}{4e^2} \right) \right) = \exp (\ln (x) -1 ) \end{eqnarray*}$

Nun Potenzgesetze. Ich habe der Übersicht halber $\begin{eqnarray*} \exp (x) \end{eqnarray*}$ benutzt statt $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ....

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10.03.2012, 10:59

Rezeptor

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
Kann ich hier nich ausklammern? Also

$\begin{eqnarray*} x^{2}+ ln\frac{1}{4e^{2} }= ln(x) -1 \end{eqnarray*}$

Also im Exponenten?

10.03.2012, 11:04

lgrizu

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
Und welches Gesetz verwendest du dabei? verwirrt

verwirrt

Das ist grottenfalsch, wieso ziehst du x² einfach so aus dem ln heraus?

Nun mach doch mal, was ich dir vorgeschlagen habe....

10.03.2012, 11:27

Rezeptor

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RE: Für welchen Wert von x gilt...
Habe folgendes gefunden:

$\begin{eqnarray*} ln (u+v) = ln (x^{2}) + ln (\frac{1}{4e^{2} } )= ln(x) -1 \end{eqnarray*}$

10.03.2012, 11:30

HAL 9000

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Es gibt keine Logarithmenregel der Form $\begin{eqnarray*} \ln(u+v)=\ln(u)+\ln(v) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Wohl aber gilt $\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{u}{v}\right) = \ln(u)-\ln(v) \end{eqnarray*}$ , was du rechts nutzen kannst:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)-1 = \ln(x)-\ln(e) = \ln\left(\frac{x}{e}\right) \end{eqnarray*}$ .

10.03.2012, 11:45

Rezeptor

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Seltsam, ich habe die Formel aus einer Formelsammlung von einem Kollegen. Werde ihn mal darauf hinweisen, dass es diese nicht gibt. Vielen dank für den Hinweis.

Leider komme ich bei der linken Seite noch immer nicht weiter..:-/

10.03.2012, 11:48

lgrizu

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$\begin{eqnarray*} \ln \left( x^2 + \frac{1}{4e^2} \right) = \ln (x) -1 \end{eqnarray*}$ , wir wenden die e-Funktion an, also erhalten:

$\begin{eqnarray*} \exp \left( \ln \left( x^2 + \frac{1}{4e^2} \right) \right) = \exp (\ln (x) -1 ) \end{eqnarray*}$

Das führt dich doch auf die Gleichung (Stichwort logarithmieren):

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{4e^2} =x \cdot e^{-1} \end{eqnarray*}$

Das ist eine quadratische Gleichung, die man leicht nach x auflösen kann.

10.03.2012, 12:25

Rezeptor

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Ahhjaaa:-)

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{1}{4e^{2} } = x\times e^{-1} \end{eqnarray*}$

dann durch x teilen:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{x}{4e^{2} } = e^{-1} \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} \frac{x4e^{2} + x}{4e^{2} } \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} \frac{x4e^{2} }{4e^{2} } + \frac{x}{4e^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+\frac{x}{4e^{2} } = e^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = \frac{1}{e} \times 4e^{2} \end{eqnarray*}$

und am Ende x = 2e

10.03.2012, 12:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rezeptor
$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{1}{4e^{2} } = x\times e^{-1} \end{eqnarray*}$

dann durch x teilen:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{x}{4e^{2} } = e^{-1} \end{eqnarray*}$

Und schon ist die nächste Umformungskatastrophe eingetreten. unglücklich

unglücklich

-------------------------

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{1}{4e^{2} } = x\cdot e^{-1} \end{eqnarray*}$

ist eine simple quadratischen Gleichung.

10.03.2012, 12:30

Rezeptor

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Habs eben nochmal editiert!

Moment, ich sehe den Fehler.

10.03.2012, 12:36

HAL 9000

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Naja, das hat ja alles nur verschlimmbessert. Da ich mit anderen Threads genug zu tun habe, werde ich lgrizu nicht mehr ins Handwerk pfuschen - es gibt anscheinend hier noch eine Menge zu tun.

10.03.2012, 12:44

Rezeptor

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mom

10.03.2012, 12:47

lgrizu

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@ Hal:

Ich war sowieso gerade offline....

@Rezeptor:
unglücklich

unglücklich

Weißt du denn, wie man quadratische Glecihungen löst?

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{4e^2}=\frac{x}{e} \end{eqnarray*}$

Das machen wir zu einem Nullstellenproblem, Division durch x ist nur erlaubt, wenn x ungleich 0 ist, desweitern wird der Ausdruck dadurch nicht einfacher, da dann x im Nenner eines Bruches steht, wenn dividiert wird, dann doch jeder Summand:

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{4e^2}=\frac{x}{e} | : x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+\frac{\frac{1}{4e^2}}{x}=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Und das kann es ja wohl nicht sein.....

Also die Frage: Wie löst man quadratische Gleichungen?

10.03.2012, 12:54

Rezeptor

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Mir fällt da die pq-Formel ein..

10.03.2012, 12:55

lgrizu

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Na also, das ist doch schon mal was.

Dann stelle mal so um, dass man die pq Formel verwenden kann.

10.03.2012, 13:04

Rezeptor

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Hätte dann

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{1}{4e^{2} } - \frac{x}{e} = 0 \end{eqnarray*}$

10.03.2012, 13:06

lgrizu

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Na also, wenn man noch etwas umsortiert erhält man:

$\begin{eqnarray*} x^{2} - \frac{x}{e}+ \frac{1}{4e^{2} } = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt genau hinschauen, braucht man dazu die pq Formel oder sieht man schon, dass es sich um eine binomische Formel handelt?

10.03.2012, 13:26

Rezeptor

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Mit der binomischen Formel kann man doch schreiben $\begin{eqnarray*} \left(x-\frac{1}{2e} \right)^{2} \end{eqnarray*}$

oder?

10.03.2012, 13:27

lgrizu

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Freude

Nun ist es vollbracht......

11.03.2012, 13:16

Rezeptor

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Super, vielen Dank für die Hilfe.

Ich würde nun gern zur nächsten Aufgabe kommen, die da lautet:

$\begin{eqnarray*} -ln\left(2x\right) = - \left(\frac{5}{2} lnx+ ln\sqrt{x} \right) \end{eqnarray*}$

Zunächst würde ich mit -1 multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} ln\left(2x\right) = \left(\frac{5}{2} lnx+ ln\sqrt{x} \right) \end{eqnarray*}$

Dann das ganze zu

$\begin{eqnarray*} exp (ln\left(2x\right)) = exp \left(\frac{5}{2} lnx+ ln\sqrt{x} \right) \end{eqnarray*}$

Und dann weiss ich iwie nicht weiter... unglücklich

unglücklich

12.03.2012, 07:56

lgrizu

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Einfach erst mal ausrechnen unter Verwendung der Exponentialgesetze.

Als Tip: $\begin{eqnarray*} e^{a+b}=e^a \cdot e^b \end{eqnarray*}$

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