Lineare Transformation P2->R^3

10.03.2012, 09:41

Alive-and-well

Lineare Transformation P2->R^3

Hallo,
ich hänge an dieser aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 < x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T: P_2 -> R^3 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} T(p(x)) : = \begin{pmatrix} p(x_1) \\p(x_2) \\p(x_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a ) Man Zeige T ist linear
b) Man Zeige T ist Injektiv
c) Man zeige für reelle Zaneln $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, a_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T^{-1} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix} = a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x) + a_3 P_3(x) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} P_1(x) := \frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2(x) := \frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_3(x) := \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \end{eqnarray*}$

Dazu:
a) und b) sind kein Problem.

Bei c) komme ich nicht so recht weiter:

ich habe mir gedacht ich bilde
$\begin{eqnarray*} T(T^{-1} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix}) = T(a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x) + a_3 P_3(x)) \end{eqnarray*}$

durch die linearität von T kann ich ja P_1(x) ,... bestimmen die könnte ich dann mit a_1,.. multipizieren und ich würde den gesuchten Vektor bekommen.

aber für P_1(x) bekomm ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{(x_2-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \\ \frac{(x_3-x_2)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für die anderen Vektoren erhhlte ich die entsprechenden Lösungen. Das ergibt aber nicht den gesuchten Vektor. Was mache ich flasch?

10.03.2012, 10:54

Elvis

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Interessante Aufgabe, sieht irgendwie nach projektiver Geometrie aus, da würde ich gerne mitdenken. Mir fehlt aber die Definition von $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ , deshalb ist mir noch nicht klar, was $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist.

10.03.2012, 11:00

Alive-and-well

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P_2 sei der Vektorraum der Polynome vom Grade <= 2 (nicht zu Beweisen).

10.03.2012, 11:18

Elvis

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Alles klar, habs verstanden, funktioniert. Du hast irgendwas nicht verstanden oder dich verrechnet.
Tipp: Beide Vektorräume sind endlichdimensional, die injektive lineare Abbildung T ist also surjektiv, also ein Isomorphismus. Du musst nur noch rechnen: $\begin{eqnarray*} T(a_1P_1(x)+a_2P_2(x)+a_3P_3(x)) =... = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann bist du fertig.

Übrigens ist z.B. $\begin{eqnarray*} x_1-x_1=0 \end{eqnarray*}$

10.03.2012, 11:27

Alive-and-well

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Zitat:

Original von Elvis
Du musst nur noch rechnen: $\begin{eqnarray*} T(a_1P_1(x)+a_2P_2(x)+a_3P_3(x)) =... = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann bist du fertig.

Übrigens ist z.B. $\begin{eqnarray*} x_1-x_1=0 \end{eqnarray*}$

Das habe ich gemacht:
$\begin{eqnarray*} T(a_1P_1(x)+a_2P_2(x)+a_3P_3(x)) =a_1T(P_1(x))+a_2T(P_2(x))+a_3T(P_3(x))= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mal für T(P_1(x))

$\begin{eqnarray*} P_1(x_1) = \frac{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_1(x_2) = \frac{(x_2-x_2)(x_2-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} = \frac{(x_2-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_1(x_3) = \frac{(x_3-x_2)(x_3-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} = \frac{(x_3-x_2)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \end{eqnarray*}$

die 1 passt ganz gut weil dann dort einfach das A stehen wird die Brüche machen die Probleme da die nicht wegfallen.

10.03.2012, 12:09

Elvis

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Viel einfacher, nachdem ich deine Definition verstanden habe ...

$\begin{eqnarray*} T(a_1P_1(x)+a_2P_2(x)+a_3P_3(x))=\begin{pmatrix} a_1P_1(x_1)+a_2P_2(x_1)+a_3P_3(x_1) \\ a_1P_1(x_2)+a_2P_2(x_2)+a_3P_3(x_2) \\ a_1P_1(x_3)+a_2P_2(x_3)+a_3P_3(x_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

... und nun musst du nur noch die $\begin{eqnarray*} P_i(x_j) \end{eqnarray*}$ einsetzen

10.03.2012, 12:45

Alive-and-well

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dann erhalte ich in der ersten "zeile"

$\begin{eqnarray*} a_1 + a_2\frac{(x_1-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + a_3\frac{(x_1-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \end{eqnarray*}$

aber das $\begin{eqnarray*} a_2\frac{(x_1-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + a_3\frac{(x_1-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \end{eqnarray*}$ fällt ja nicht raus, also komm ich ja nicht auf $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$

darin liegt ja mein Problem

10.03.2012, 12:56

Elvis

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Da hast du meinen Tipp nicht vollständig gelesen, ich hatte geahnt, wo du einen Fehler machen kannst und es ist immer noch $\begin{eqnarray*} x_1-x_1=0 \end{eqnarray*}$ . Die erste Zeile heißt $\begin{eqnarray*} a_1P_1(x_1)+a_2P_2(x_1)+a_3P_3(x_1)=a_1\frac {(x_1-x_2)(x_1-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+a_2\frac {(x_1-x_1)(x_1-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+a_3\frac {(x_1-x_1)(x_1-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 0+a_3\cdot 0 \end{eqnarray*}$

10.03.2012, 13:59

Alive-and-well

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manchmal sieht man den Wald vor lauter bäumen nicht -.-

danke

10.03.2012, 16:03

Elvis

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Na also, geht doch. Wir sprechen nun den SATZ aus: Jeder "Tripel-Einsetzungshomomorphismus" T ist ein Isomorphismus von P2 nach R3 mit explizit bekanntem inversen Isomorphismus. Augenzwinkern

(Dass P2 und R3 isomorph sind, ist wegen dim(P2)=dim(R3)=3 trivial.)

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