Integralwert wird negativ

10.03.2012, 11:13

Daniel1

Integralwert wird negativ

Meine Frage:
Hallo,

folgende Stammfunktion ist gegeben:
1/2 log(1-2 x)-2 log(2-x)+x log((-2+x)/(-1+2 x))

Ich habe nun das Integral von -1 bis 0 ausgerechnet und
erhalte einen negativen Wert!
Obwohl der Graph oberhalb der x-Achse liegt.

Betrachtet wird folgende Funktion:

log((-2+x)/(-1+2 x))

Meine Ideen:
Eine Idee habe ich nicht, da auch WolframAlpha zu diesem Ergebnis kommt, ich bin nur verwirrt, da ich dachte ein bestimmtes Integral wird nur dann negativ wenn es unterhalb der x-Achse liegt. Dies ist hier aber nicht der Fall.

10.03.2012, 11:19

HAL 9000

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RE: Integralwert wird negativ!

Zitat:

Original von Daniel1
folgende Stammfunktion ist gegeben:
1/2 log(1-2 x)-2 log(2-x)+x log((-2+x)/(-1+2 x))

Ist tatsächlich eine Stammfunktion von log((-2+x)/(-1+2 x)). Freude

Zitat:

Original von Daniel1
Ich habe nun das Integral von -1 bis 0 ausgerechnet und
erhalte einen negativen Wert!

Dann muss der Fehler wohl hier liegen, denn das Ergebnis ist doch positiv.

10.03.2012, 11:54

Daniel1

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RE: Integralwert wird negativ!

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Daniel1
folgende Stammfunktion ist gegeben:
1/2 log(1-2 x)-2 log(2-x)+x log((-2+x)/(-1+2 x))

Ist tatsächlich eine Stammfunktion von log((-2+x)/(-1+2 x)). Freude

Zitat:

Original von Daniel1
Ich habe nun das Integral von -1 bis 0 ausgerechnet und
erhalte einen negativen Wert!

Dann muss der Fehler wohl hier liegen, denn das Ergebnis ist doch positiv.

Aber schau mal, ich habe das Ergebnis mit WA berechnet:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2F2+log%281-2+x%29-2+log%282-x%29%2Bx+log%28%28-2%2Bx%29%2F%28-1%2B2+x%29%29%2C+{x%2C+-1%2C+0}]

10.03.2012, 11:55

HAL 9000

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Ich ärgere mich nicht mit defekten Links rum. Rechne von Hand (solltest du auch können, wenn das Internet mal ausfällt) nach.

EDIT: Wenn ich den Link richtig deute, integrierst du nochmals die Stammfunktion? Was soll das denn??? unglücklich

10.03.2012, 11:57

Daniel1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich ärgere mich nicht mit defekten Links rum. Rechne von Hand (solltest du auch können, wenn das Internet mal ausfällt) nach.

Habe ich ja, und es deckt sich mit dem Ergebnis von WA.
Mein Ergebnis ~ -1,57

Warum der Link nicht geht weiß ich nicht, sorry. Das wäre das was ich berechnen lies:
Integrate[1/2 log(1-2 x)-2 log(2-x)+x log((-2+x)/(-1+2 x)), {x, -1, 0}]

10.03.2012, 11:57

HAL 9000

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Siehe Edit.

10.03.2012, 12:18

Daniel1

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Ok, ziehen wir es nochmal von vorne auf.

Meine Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} ln \left(\frac{x-2}{2x-1}\right) \end{eqnarray*}$

So sieht die Stammfunktion dann aus:

$\begin{eqnarray*} F(x)= 0,5 ln\left(1-2x\right) - 2 ln\left(2-x\right) + x ln \left(\frac{-2+x}{-1+2x} \right) \end{eqnarray*}$

Gut und dann geht es so weiter um das Integral zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^0 \! ln \left(\frac{x-2}{2x-1}\right) \, dx = \left[0,5 ln\left(1-2x\right) - 2 ln\left(2-x\right) + x ln \left(\frac{-2+x}{-1+2x} \right)\right]_{-1}^{0} = F(0) - F(-1) \end{eqnarray*}$

Ist dieser Ansatz korrekt?

10.03.2012, 12:22

HAL 9000

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Ja, so ist es korrekt. Aber du hast in Wolfram nicht

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 \ln\left( \frac{-2+x}{-1+2x} \right) ~ \dd x = \Big[ \frac{1}{2}\ln(1-2x)-2\ln(2-x)+x\ln\left( \frac{-2+x}{-1+2x} \right) \Big]_{x=-1}^0 = \frac{3}{2}\ln(3)-2\ln(2) \approx 0.2616 \end{eqnarray*}$ ,

sondern stattdessen absurderweise $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 \left( \frac{1}{2}\ln(1-2x)-2\ln(2-x)+x\ln\left( \frac{-2+x}{-1+2x} \right) \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ berechnen lassen. Das verstehe wer will - ich nicht. unglücklich

10.03.2012, 13:08

Daniel1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ja, so ist es korrekt. Aber du hast in Wolfram nicht

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 \ln\left( \frac{-2+x}{-1+2x} \right) ~ \dd x = \Big[ \frac{1}{2}\ln(1-2x)-2\ln(2-x)+x\ln\left( \frac{-2+x}{-1+2x} \right) \Big]_{x=-1}^0 = \frac{3}{2}\ln(3)-2\ln(2) \approx 0.2616 \end{eqnarray*}$ ,

sondern stattdessen absurderweise $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 \left( \frac{1}{2}\ln(1-2x)-2\ln(2-x)+x\ln\left( \frac{-2+x}{-1+2x} \right) \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ berechnen lassen. Das verstehe wer will - ich nicht. unglücklich

So, es ist tatsächlich ein absolut seltsamer Fehler passiert. Die Ergebnisse meiner falschen WolframAlpha haben sich mit meinen Ergebnissen gedeckt, weil ich einen Rechenfehler eingebaut habe, deshalb war ich vom Ergebnis so überzeugt smile

Danke für deine Hilfe smile

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