Kreisteilung Konstruktion mit Zirkel und Lineal |
| 10.03.2012, 13:11 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kreisteilung Konstruktion mit Zirkel und Lineal Einen schönen guten Mittag euch allen! Ich beschäftige mich gerade mit einer Anwendung von Körpererweiterungen, nämlich der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Wir hatten einen Satz - in Kurzform: Wenn (a,b) aus R^2 mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Konstruktionsschritten aus (0,0) und (1,0) konstruierbar ist, dann sind a und b algebraisch über Q. Nun komm' ich zu meinem eigtl. Anliegen, der Kreisteilung: Man konstruiere ein regelmäßiges n-Eck, d.h. den Punkt (c,s) = (cos 2*pi/n, sin 2*pi/n). Für die komplexe Zahl z_n = c+is gilt z_n ist in Q(i,c,s) enthalten. ... Wir benötigen irreduzible Polynome p_n mit p_n(z_n)=0. Meiner Meinung nach kann ich hier nicht den Satz von oben anwenden, da der hier vorliegende n-Eck-Fall ja quasi die umgekehrte Richtung ist. Ich möchte ja ein n-Eck konstruieren, und weiß noch nicht, ob das möglich ist (d.h. ob endl. viele Konstr.schritte reichen). p_n sind die Kreisteilungspolynome - ihr Wesen ist mir klar. Spielt p_n(z_n) auf z_n algebraisch über ??? an? Betrachte ich hier algebraisch über Q, R oder C? Ich versteh' das nicht so recht... Weiter geht's dann mit dem folgenden Satz: Das regelmäßige n-Eck sei konstruierbar. Dann ist n ein Produkt mit Faktoren 2 und Fermat-Primzahlen. Die erste Beweisbemerkung hierzu ist mir nicht ersichtlich: "Für jeden Teiler t von n ist dann auch das regelmäßige t-Eck konstruierbar." Mir ist bekannt, dass auch die Rückrichtung dieses Satzes gilt (Gauß), deshalb kann ich die Aussage nachvollziehen. Aber wie folgt diese Bemerkung ohne des Wissens über den Satz von Gauß? Danke für eure Antworten! Meine Ideen: Hab ich oben schon miteinfließen lassen... |
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| 10.03.2012, 13:22 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kreisteilung Konstruktion mit Zirkel und Lineal Dass die Primzahldarstellung von n wie folgt ausschaut: kann man mit Induktion über den Körpergrad der Erweiterung zeigen (nur, dass die Bedingung notwendig ist, dass sie auch hinreichend ist, dazu bedarf es dem HS der Galoistheorie). Edit: achso, die e_i s sind 0 oder 1, das kann man auch noch fix zeigen, hab aber nun keine Zeit mehr. Ein n-Eck ist höchstens dann konstruierbar, wenn gilt 1.) L ist algebraische Körpererweiterung (der Beweis ist klar, oder?) 2.) Es ist [L : Q ]=2^{k} Induktion: IA: Wir kontruieren den Punkt i IS: Wir betrachten einen weiteren konstruierbaren Punkt, die möglcihen Konstruktionsschritte sind: i) Schnittpunkt zweier Geraden (Glecihung vom Grad 1 zu lösen) ii) Schnittpunkt eines Kreises mit einer Geraden (Glecihung vom Grad 2 zu lösen) iii) Schnittpunkt zweier Kreise (Gleichung vom Grad 2 zu lösen) Damit ist [E:L] kleiner oder gleich 2, E ist die Körpererweiterung, die den neuen konstruierten Punkt enthält, L ist der Körper, der alle bisher kontruierten Punkte enthält. Also ist mit Induktionsvorraussetzung und Gradsatz |
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| 10.03.2012, 13:36 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kreisteilung Konstruktion mit Zirkel und Lineal Danke für deine blitzschnelle Antwort!
Das ist doch die Umkehrung meines ersten erwähnten Satzes... In meinem Skript wird nicht erwähnt, dass diese auch gilt. Mein zweites Problem habe ich mittlerweile gelöst, bleibt das erste... |
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| 13.03.2012, 07:58 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kreisteilung Konstruktion mit Zirkel und Lineal hallo latingirl, habe noch über deine erste frage nachgedacht, bei den konstruktionsproblemen geht es natürlich darum, ob die zu konstruierende zahl algebraisch über Q ist, (und nicht über R oder C), denn sonst gäbe es ja überhaupt keine konstruktionsprobleme, weil in R und C ja sowieso schon "alles drin ist". So ist zum beispiel die quadratur des kreises unmöglich, weil pi als transzendente zahl nicht in einer algebraischen erweiterung von Q liegt. gruss ollie3 |
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| 13.03.2012, 08:04 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Antwort, ollie3. Das heißt dann also: "z_n ist algebraisch über Q." Gut, damit ist dann die Möglichkeit einer Konstruktion dieses n-Ecks immerhin nicht ausgeschlossen. Kontraposition würde mir ja liefern: Wenn z_n nicht algebraisch über Q ist, dann ist eine Konstruktion nicht möglich. Aber die Tatsache, dass z_n algebraisch über Q ist, ist ja noch lange kein "Beweis", dass das n-Eck konstruierbar ist... ??? |
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| 13.03.2012, 08:10 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo latingirl, ich weiss, und das regelmässige n-eck ist ja auch nur in bestimmten fällen und nicht immer konstruierbar, da muss n eine bestimmte form haben, aber das ist sehr kompliziert, am besten du liest das bei wikipedia nach. ollie3 |
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| 13.03.2012, 08:11 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist richtig. Der Beweis, dass der Grad der Körpererweiterung eine Potenz von zwei über Q haben muss steht aber bereits in diesem Thread, jedenfalls der Beweis der Notwendigkeit. Für den Beweis, dass es auch hinreichend ist benötigt man wie gesagt den HS der Galoistheorie.
Wie gesagt, der Beweis, dass der Körpergrad über Q eine Potenz von 2 sein muss ist Induktion (also wieso kompliziert?). |
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| 13.03.2012, 08:14 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das muss ich gar nicht bei Wiki nachlesen :-) Das steht nämlich alles schön in meinem Skript, und ich hab's nachvollziehen können. Es geht mir ja wirklich nur um den Schritt, dass solche Kreisteilungspolynome p_n gesucht sind mit p_n(z_n)=0. Aufgrund dieser Eigenschaft/Existenz kann man aber noch lange nicht auf Konstruierbarkeit schließen... Deshalb bin ich ein wenig verwirrt, vielleicht denk ich mir aber auch zu viel und sollte es einfach so hinnehmen... lg |
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