metr. Topologie/ Initialtopologie

10.03.2012, 13:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
metr. Topologie/ Initialtopologie Meine Frage: Zeigen Sie: Die metrische Topologie auf dem metrischen Raum $\begin{eqnarray} (M,d) \end{eqnarray}$ stimmt mit der Initialtopologie auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ bezüglich der Familie der Abbildungen $\begin{eqnarray} \left\{d_a:=d(a,\bullet)\colon M\to \mathbb R_{+}~\|~a\in M\right\} \end{eqnarray}$ überein. Meine Ideen: Mit der metrischen Topologie (so nehme ich an) auf M ist doch folgende Topologie gemeint: $\begin{eqnarray} \left\{C\subseteq M~\|~\text{C offen bezueglich d}\right\}<br /> =\left\{C\subseteq M~\|~\text{C laesst sich als Vereinigung offener Kugeln (bezueglich d) darstellen}\right\}<br /> =\left\{C\subseteq M~\|~\forall~x\in C~\exists~\varepsilon\in\mathbb R_{+}: \left\{y\in M~\|~d(x,y)<\varepsilon\right\}\subseteq C\right\} \end{eqnarray}$ Die Initialtopologie auf M bezüglich der obigen Familie von Abbildungen besitzt als Subbasis $\begin{eqnarray} \mathfrak{S} \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} \mathfrak{S}=\left\{d_a^{-1}(O)~\|~O\in\mathcal{O}_i\right\} \end{eqnarray}$ , wobei man unter $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_i \end{eqnarray}$ wohl wieder die metrische Topologie auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ meint. Irgendwie komme ich jetzt damit aber nicht gut klar. Was muss ich jetzt eigentlich tun?! Edit 1: Also ich muss doch zeigen: $\begin{eqnarray} \mathfrak{M}:=\left\{C\subseteq M~\|~\text{C laesst sich als Vereinigung offener Kugeln (bezueglich d) darstellen}\right\}=\left\{D\subseteq M~\|~D=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=1}^{n_i}S_j, S_j\in\mathcal{S}\right\}=:\mathfrak{N} \end{eqnarray}$ Nun gilt doch aber für eine offene Kugel in $\begin{eqnarray} (M,d) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} K(x,\varepsilon)=d_x^{-1}([0,\varepsilon[) \end{eqnarray}$ . Also kann man ein $\begin{eqnarray} C\in\mathfrak{M} \end{eqnarray}$ doch schreiben als $\begin{eqnarray} C=\bigcup_{x\in C}d_x^{-1}([0,\varepsilon[) \end{eqnarray}$ . Und so ein $\begin{eqnarray} d_x^{-1}([0,\varepsilon[) \end{eqnarray}$ ist doch ein endlicher Schnitt von Mengen aus $\begin{eqnarray} \mathcal{S} \end{eqnarray}$ , etwa $\begin{eqnarray} d_x^{-1}([0,\varepsilon[)=d_x^{-1}([0,\varepsilon[)\cap d_x^{-1}([0,\delta[), \varepsilon<\delta \end{eqnarray}$ . Daraus folgt m.E. die Identität der Topologien.
11.03.2012, 02:19	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis jetzt hast du gezeigt, dass die Initialtopologie feiner ist als die metrische. Denn du kannst jedes Basiselement der metr. Top. als Vereinigung von Subbasiselementen der Initialtopologie schreiben. Beachte, dass das epsilon noch von x abhängen sollte in der Verinigung. Mit O_i meint man nicht die metrische Topologie auf M, sondern wohl die natürliche Topologie eingeschränkt auf R+! Jetzt brauchst du noch die andere Richtung, also seien $\begin{eqnarray} a\in M, \ O\in\mathcal{ O}_i \end{eqnarray}$ beliebig. Sei $\begin{eqnarray} x\in d_a^{-1}(O)=\{x\in M: d(a,x)\in O\} \end{eqnarray}$ , es gibt also ein $\begin{eqnarray} \epsilon_x>0 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} [d(a,x) ,d(a,x)+\epsilon_x)\subset O \end{eqnarray}$ Daran sieht man $\begin{eqnarray} D_x:=\{y\in M: d(x,y)<\epsilon_x\}\subset d_a^{-1}(O) \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \bigcup_{x\in d_a^{-1}(O)}D_x=d_a^{-1}(O) \end{eqnarray}$ Das Beispiel eignet sich aber gut, um sich mit der universellen Eigenschaft der Initialtopologie vertraut zu machen. Dazu sei (X,Q) topologischer Raum und g:X->M, M mit metr. topologie versehen. Falls g stetig, ist d_a°g als Komposition stetiger Fkt selbst stetig. Falls d_a°g für alle a aus M stetig. Sei e>0 und x€M, es folgt g^-1(K_e(x))=g^-1(d_x^-1([0,e))=(d_x°g)^-1([0,e)) liegt in metr Topologie, weil [0,e) offen in R+. Das ging ja jetzt bedeutend einfacher von der Hand.

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