Produkt/ Koprodukt |
| 10.03.2012, 16:28 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Produkt/ Koprodukt Ich habe mal eine Verständnisfrage: Wieso entspricht gerade die Produkttopologie dem kategorientheoretischen Produkt in der Kategorie der topologischen Räume(wieso gerade DIESE Initialtopologie und keine andere?)? Wieso entspricht gerade die Summentopologie dem kategorientheoretischen Koprodulkt (wieso gerade DIESE Finaltopologie und keine andere?)? Meine Ideen: Anscheinend erfüllen nur diesen beiden Topologien die Kriterien, aber ich sehe nicht, wieso. Wieso entspricht zum Beispiel die Unterraumtopologie (=Initialtopologie bezüglich der Injektionen) nicht dem kateorientheoretischen Produkt in der Kategorie der topologischen Räume? |
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| 11.03.2012, 03:14 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kurz gesagt, weil das topologische Produkt halt alle Anforderungen eines Produkts in Top erfüllt (d.h. es ist ein Objekt, so dass für alle Morphismen ... blablabla, etc. pp. - nachprüfen!) Aber natürlich ist das Produkt nur bis auf Isomorphie eindeutig! Du kannst sicherlich auch auf einer andern Menge (ungleich dem mengentheoretischen Produkt der Faktoren des Produkts) eine Topologie einführen und Projektionen definieren, welche alle Anforderungen eines kategorientheoretischen Produkts erüllen. Deshalb eben diese Floskel "das Produkt ist bis auf Isomorphie eindeutig".
(sei Inklusion) Gegenbeispiele wären ja einfach genug zu finden... Auf alle Fälle gibt es doch sicherlich nicht für jedes Objekt C und jeden Morphismus von C nach X einen eindeutigen Morphismus mit , oder? Was geht nämlich schief im Allgemeinen? |
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