Eckpunkte eines Quadrats

19.01.2007, 19:03

Jonfred

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Eckpunkte eines Quadrats

Schönen guten Abend wünsche ich!
Könntet ihr mir bitte mal kurz behilflich sein?

Ich habe 4 Punkte gegeben und soll nun beweisen, dass diese die Quadrates eines Vierecks sind...
zu zeigen, dass sie Strecken bilden, die parallel zueinander sind, wird nicht ausreichen, oder?

19.01.2007, 19:13

mYthos

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.. nein, denn dann könnte es ja auch ein Rechteck oder Parallelogramm sein.

mY+

19.01.2007, 19:26

Jonfred

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und was muss man dann noch machen?

19.01.2007, 20:05

Lazarus

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Du müsstest noch beweisen das es einen Rechten Winkel gibt.

19.01.2007, 20:06

AD

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Dann sind wir beim Rechteck. Fehlt nur noch die Längengleichheit zweier benachbarter Seiten, dann sind wir auch beim Quadrat.

19.01.2007, 20:53

jonfred

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okay...alles nachvollziehbar...aber da gibt es doch auch sicherlich noch ne allgemeine Formel, oder?

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19.01.2007, 21:01

AD

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Kannst du alles mit Seitenvektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ usw. ausdrücken. Und die hast du ja, wenn du die Punktkoordinaten kennst.

Denk mal nach, bevor du nach fertigen Formeln fragst - die Strategie des Vorgehens hast du ja jetzt!

20.01.2007, 11:02

Jonfred

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Aber auf die Parallelität muss ich doch gar nciht mehr eingehen, oder? Ich meine, wenn ich schon weiß, dass

$\begin{eqnarray*} \vec{AB}senkrecht \vec{BC} ,\vec{BC}senkrecht \vec{DC} ,\vec{DA} senkrecht \vec{DC} ,\vec{DA} senkrecht \vec{AB} \end{eqnarray*}$

und halt alle gleich lang, dann reicht das doch schon, oder nicht??

Dachte, dass es vll. noch sowas wie ne Formel gibt, in der alles zusammengefasst ist...denn immerhin ergeben die Skalarprodukte dann immer 0 und bei sowas gibt es doch immer ne allumfassende Formel...tut mir ja leid...

könntet ihr mir noch bei der folgenden Aufgabe helfen?

Bestimme alle Punkte S, die zusammen mit A, B, C, D die Eckpunkte einer quatratischen Pyramide mit der Höhe h= 10 bilden

meine Überlegungen:

ein Ortsvektor zu eines der Eckpunkte z.B. A....dann bis zur Hälfte des Seitenvektors AB wandern..und dann wandert man ja nochmal die Hälfte eines Seitenvektors bis zur Quadratmitte und somit bis zum Fuß der Höhe...und nun geht man einen Vektor hoch, der den Betrag 10 hat...und dann wandert man den Vektor entweder hoch oder runter...hat dann also zwei Werte für den Punkt S!

geht doch bestimmt einfacher, oder? Hab mir noch überlegt, dass man vll. mit rein nehmen könnte, dass h ja senkrecht zur Ebene des Quadrats ist, aber ich weiß gar nicht wie man eine Ebene aus 4 Punkten bildet... verwirrt

verwirrt

20.01.2007, 12:36

mYthos

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Bitte normalerweise (das nächste Mal) für eine neue Aufgabe auch ein neues Thema aufmachen und nicht hier an den alten Thread anhängen!

Im Wesentlichen ist das von dir beschriebene Verfahren richtig. Der Mittelpunkt des Quadrates ist auch der Mittelpunkt seiner Diagonalen. Daher kannst du diesen etwas einfacher bestimmen. Für den Mittelpunkt einer Strecke AB gibt's auch eine kleine Formel:

$\begin{eqnarray*} \vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \end{eqnarray*}$

mY+

20.01.2007, 14:21

jonfred

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$\begin{eqnarray*} \mid \vec{0S} \mid = \mid \begin{pmatrix} S1 \\ S2 \\ S3 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}(\vec{0A}+ \vec{0B}) \mid = 10 \end{eqnarray*}$

würde ich so auf das Ergebnis kommen?

p.s.: eigentlich gehört die Aufgabe noch zu der vorherigen...aber das sieht man ja nicht, weil ich die Werte nicht mit angegeben habe...

20.01.2007, 14:26

mYthos

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Zitat:

Original von jonfred
$\begin{eqnarray*} \mid \vec{0S} \mid = \mid \begin{pmatrix} S1 \\ S2 \\ S3 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}(\vec{0A}+ \vec{0B}) \mid = 10 \end{eqnarray*}$

würde ich so auf das Ergebnis kommen?
...

Achtung, es hieß: Der Mitelpunkt der Diagonale! Und links wird's wohl MS heissen. Also

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{MS} \mid = \mid \begin{pmatrix} S1 \\ S2 \\ S3 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}(\vec{OA}+ \vec{OC}) \mid = 10 \end{eqnarray*}$

Jap?

mY+

20.01.2007, 14:48

jonfred

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hmmm...ich mach das mal mit Zahlen, sonst komme ich ganz durcheinander (habe es jetzt aber etwas anders gerechnet!):

A( 2/-4/4), B(5/1/8), C(8/-4/12), D(5/-9/8)

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{m\vec{AC} } = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und da nun die Höhe zu der Strecke MS orthogonal sein muss, muss auch das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren gleich 0 sein:

und so komme ich auf einen möglichen Richtungsvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\vec{MS} ] = \mid \vec{0S} - \vec{mAB} \mid = 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\vec{MS} ] = \mid \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \mid = 10 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kommt trotzdem nicht das raus, was rauskommen sollte...

20.01.2007, 14:55

mYthos

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Der Richtungsvektor stimmt nicht! 4 mal 0 = 0 und nicht 1!

Wie wär's mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EDIT2:

Sorry, mein Irrtum, ich hab das Ganze mit OM gemacht. Dein Vektor wäre daher schon möglich.

EDIT:
Ähhhm: Mir fällt gerade auf, dass du da nicht einen beliebigen Normalvektor nehmen kannst, denn dieser soll ja normal zur EBENE ABCD sein!!

mY+

20.01.2007, 15:06

jonfred

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an welcher Stelle bist du verwirrt

verwirrt

Ich habe doch gar keine 1 als Koordinate oder übersehe ich da etwas....

20.01.2007, 15:08

mYthos

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Dort, wo du einen möglichen Richtungsvektor kreirt hast! Wie kommst du auf 0 als 2. Koordinate? Offensichtlich hattest du 0 mal 4 = 4 gerechnet.

EDIT: sh. 2 Posts weiter oben

Aber das geht ja eh nicht!

---> s.h. unten

Ausserdem darfst du da nicht einen beliebigen Normalvektor nehmen, denn dieser soll ja normal zur EBENE ABCD sein!! (Wie anfangs von dir auch geschrieben)

Nimm einfach zwei Trägervektoren der Ebene und ....

mY+

20.01.2007, 15:36

jonfred

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Reicht es auch, wenn der Vektor orthogonal zur ABC-Ebenen ist? Immerhin ist das die Hälfte der ABCD-Ebene und ich weiß noch dazu wie man ds macht Big Laugh

Big Laugh

20.01.2007, 15:50

mYthos

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Natürlich. Der vierte Punkt in der andern "Hälfte" muss sich ja auch (in der "Verlängerung") in derselben Ebene befinden!

mY+

20.01.2007, 16:05

jonfred

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Der Normalenvektor zu der Ebenen wäre aber wieder der gleiche! Also (-4/0/3)

20.01.2007, 16:11

mYthos

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Ja er stimmt! (Ich hab' mich weiter oben leider etwas vertan, sorry)
WIE hast du den ermittelt? Nur probiert?

mY+

20.01.2007, 16:17

Jonfred

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Mit der Matrixschreibweise!

Die drei Punkte ABC bilden ja eine Ebene mit zwei Richtungsvektoren und der Richtungsvektor von 0S soll ja senkrecht zu beiden sein!

aber trotzdem muss hier irgendwo ein Fehler sein...

20.01.2007, 16:25

Jonfred

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Also für r=-10

und eingesetzt erhalte ich: S(45/ -4/ -22)...dabei ist aber ein Teilergebnis S(-3/ -4/14)

20.01.2007, 16:28

mYthos

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Bisher stimmt es jetzt, ich hab's gerade gezeichnet.

Gehe nun so vor, wie du schon projektiert hast, bilde $\begin{eqnarray*} \vec{MS} \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} |\vec{MS}| = 10 \end{eqnarray*}$ . Selbstverständlich gibt es 2 Lagen des gesuchten Punktes S.

mY+

Zu dumm, ich hatte deine 2. Antwort nicht gesehen! Muss erst nachprüfen, was du da gemacht hast ...

Also: r ist nicht -10, auch nicht +10, sondern +2 oder -2

Die Gleichung dazu lautet doch - weil du den Absolutbetrag quadrieren musst:

$\begin{eqnarray*} \left[ r \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right]^2 = 100 \end{eqnarray*}$

mY+

21.01.2007, 10:54

Jonfred

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Genau diese Stelle verstehe ich immer nicht! Warum muss man denn das ganze nochmal quadrieren?

21.01.2007, 13:12

mYthos

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Weil der Absolutbetrag des Vektors - also seine Länge - die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten ist!

mY+

21.01.2007, 15:16

Jonfred

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Okay, ich glaube ich habs verstanden.

Und eine allumfassende Formel für ein Quadrat gibt es wirklich nicht? Ich frage nicht in erster Linie aus Faulheit (immerhin hab ich die Aufgabe schon längst gemacht!), sondern tatsächlich aus Interesse!

21.01.2007, 15:22

mYthos

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Bei einem (ebenen) Quadrat müssen alle Seiten (in einer Ebenen liegen und) gleich lang sein UND sie müssen normal aufeinander stehen. Das ist - wenn du so willst - die allumfassende Bedingung, aus der dann die einzelnen Beziehungen abzuleiten sind.

mY+

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