T0-Raum, aber nicht T1-Raum

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
T0-Raum, aber nicht T1-Raum
Meine Frage:
Die Menge aller offenen Intervalle zusammen mit und ist eine Topologie auf .

Zeigen Sie, daß ein T0-Raum, aber kein T1-Raum ist!

Meine Ideen:
Moin, moin!

Ein topologischer Raum X heißt

T0 Raum: Von je zwei verschiedenen Punkten aus X hat einer eine Umgebung, die den anderen nicht enthält.

T1 Raum: Von je zwei verschiedenen Punkten aus X jeder eine Umgebung hat, die den anderen Punkt nicht enthält.




Seien .

Ist , so kann man doch als Umgebung des Punktes y wählen: , dann ist .

Ist , so wähle als Umgebung von x: . Dann ist .

Also ist es ein T0-Raum.




Wieso haut das jetzt das mit dem T1 nicht hin?

Naja, weil es einfach nicht möglich ist, daß bei je zwei verschiedenen Punkten beide eine Umgebung haben, die den anderen Punkt nicht enthält.

Ist mir schon eigentlich klar, aber wie kann man das sauber aufschreiben?


Ist , so kann man zwar (wie oben) eine Umgebung um y finden, die nicht x enthält, aber jede Umgebung um x enthält y.

Ist , kann man eine Umgebung um x finden, die nicht y enthält, aber jede Umgebung um y, enthält x.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt im Grunde. Als Idee für einen Aufschrieb beim T1-Gegenbeispiel:

Sei ohne Einschränkung . Klar ist, dass und nicht als Umgebungen für dienen können, um die T1-Eigenschaft zu erhalten. Sei also eine Umgebung von , dann muss gelten, da sein soll. Dann gilt aber auch und damit . Daher gilt die T1-Eigenschaft nicht.

air
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