DGL zweiten Grades

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19.01.2007, 19:07	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL zweiten Grades Hi... ich soll ein Fundamentalsystem für folgende DGL bestimmen: $\begin{eqnarray} (2x - 3x^3)y'' + 4y' + 6 xy = 0 \end{eqnarray}$ durch den Ansatz der uns gegeben war bin ich auf eine spezielle Lösung gekommen, nämlich: $\begin{eqnarray} y(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ nur wie mach ich von hier aus weiter...? Wenn ich die DGL in ein Gleichungssystem umwandle, dann sind die Koeffizienten in der Matrix immer noch von x abhängig. Wie ich sowas löse weiß ich nicht. Aber irgendwie muss mir die eine Lösung ja helfen um auf weitere zu kommen oder?
19.01.2007, 21:27	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL zweiten Grades Hallo Sunwater! Ich denke, das Reduktionsverfahren von d'Alembert wäre hier das Richtige. Sieh mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Reduktionsverfahren Gruss yeti
19.01.2007, 21:42	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
da es sich ja um eine DGL mit nicht konstanten Koeffizienten handelt, ist ein Potenzreihenansatz auch ein sicherer Lösungsweg. Es muss am Ende nur die Lösung $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ von der Reihendarstellung in die "explizite" Darstellung überführt werden. Wähle also als Ansatz: $\begin{eqnarray} y(x)=\sum_{k \in \mathbb{N}} a_k\cdot x^k \end{eqnarray}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ . Differenziere zweimal, setzt dann in die DGL ein und versuche eine Rekursionsformel für die Koeffizienten zu finden. Da fällt mir ein, wurden Anfangsbedingungen gegeben? swerbe
19.01.2007, 22:44	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstmal... @swerbe: nein Anfangswerte sind nicht gegeben, es wird die allgemeine Lösung gesucht... @yeti777: leider darf ich dieses Verfahren nicht benutzen, da es nicht Bestandteil unserer Vorlesung war. Aber ich werde es trotzdem mal damit versuchen, denn ich hab damit noch nicht rumgerechnet... ich werde es mal mit Potenzreihen versuchen, obwohl ich mir das schwer vorstellen kann... die Lösung ist nämlich: $\begin{eqnarray} y(x) = c_1 \frac{\sqrt{3x^2 - 2}}{x \sqrt{2 - 3x^2}} + c_2 \frac{(x^2 - 2)\sqrt{3x^2 - 2}}{\sqrt{2 - 3x^2}} \end{eqnarray}$ ich weiß noch nicht, wie da ne Potenzreihe zu aussehen soll?!... aber versuchen... wenn jemand doch noch nen anderen Tipp hat wäre ich dafür auch dankbar...
20.01.2007, 12:19	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare DGL 2. Ordnung Hallo Sunwater! Ich habe mich ein bisschen mit deiner DGL beschäftigt. Mit dem Reduktionsverfahren von d'Alembert erhalte ich folgende Lösung: $\begin{eqnarray} y(x)= \frac{c_1}{x} + c_2(x^2-2) \end{eqnarray}$ Diese allgemeine Lösung (2 frei wählbare Konstanten) befriedigt die DGL. Deine, komplizierter aussehende, Lösung habe ich allerdings nicht überprüft, war mir zu grauslich! Hast DU sie überprüft? Beim Reihenansatz gilt es zu beachten, dass die DGL in den Punkten $\begin{eqnarray} x\in \{0,\frac{\sqrt(6)}{3} ,-\frac{\sqrt(6)}{3}\} \end{eqnarray}$ schwach singulär ist. Ich habe mich allerdings nicht am Potenzreihenansatz versucht. Gruss yeti
20.01.2007, 13:33	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare DGL 2. Ordnung Ich bekomme auch: $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{c1}{x}+c2(2-x^2) \end{eqnarray}$ als Lösung wenn ich den Ansatz: $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{z(x)}{x} \end{eqnarray}$ in die DGL einsetze und dann nach dem Zusammenfassen noch $\begin{eqnarray} z'=u \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} z''=u' \end{eqnarray}$ als Substitution verwende. Dann lässt sich die entsehende DGL leicht lösen. Es kann ja auch sein, dass bei einer unserer Lösungen die Koeffizienten imaginär sind, denn deine Vorgabe lässt sich ja auch umformen zu. $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{c1}{x}\cdot \frac{i \sqrt{2-3x^2}}{\sqrt{2-3x^2}}+... \end{eqnarray}$ Gruß Jan
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20.01.2007, 19:42	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, ich habs einfach per mathematica ausrechnen lassen... - meist nicht die schönste Form des Ergebnisses @Harry Done ich werde deinen Ansatz auch mal versuchen... - warum sah er für dich vielversprechend aus? - haste du dir die Lösung angesehen und dann losgelegt? oder hast du das aus der Struktur der DGL rausbekommen?
20.01.2007, 23:09	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@Sunwater: Der Ansatz von Harry ist nichts anderes als die Reduktionsmethode von d'Alembert, weil die bekannte Lösung $\begin{eqnarray} y_1(x)=1/x \end{eqnarray}$ lautet! Gruss yeti
21.01.2007, 12:02	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ok - dann muss ich mich mal mit dem D'Alembert beschäftigen... danke
31.01.2007, 16:10	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
so, nachdem ich Zeit hatte hab ich mich nochmal rangesetzt und es jetzt auch raus... - danke

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