Quotientenabbildung

10.03.2012, 20:08	RocknRolla	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenabbildung Hallo Ich sitze hier grad vor einer Aufgabe und komme nicht voran Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb K - Vektorraum \end{eqnarray}$ und seien $\begin{eqnarray} U_1,U_2 \subseteq V \end{eqnarray}$ zwei Untervektorräume, sodass $\begin{eqnarray} V=U_1+U_2 \end{eqnarray}$ gilt. Sei $\begin{eqnarray} W=U_1\cap U_2 \end{eqnarray}$ und es bezeichne $\begin{eqnarray} \pi :V \to V/W \end{eqnarray}$ die kanonische Quotientenabbildung. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} V/W=\pi (U_1)\oplus \pi (U_2) \end{eqnarray}$ Mir fällt leider nichts ein wie ich das zeigen kann und hab auch noch keinen Anfang. Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Danke
11.03.2012, 10:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ca. 7 Tipps: $\begin{eqnarray} V/W=\pi(V) \end{eqnarray}$ , also ist zu zeigen 1. $\begin{eqnarray} \pi(V)=\pi(U_1)+\pi(U_2) \end{eqnarray}$ , zeige Mengengleichheit, d.h. zeige linke Menge Teilmenge der rechten Menge und rechte Menge Teilmenge der linken Menge 2. $\begin{eqnarray} \pi(U_1)+\pi(U_2)=\pi(U_1)\oplus\pi(U_2) \end{eqnarray}$ , zeige Summe ist direkt, d.h. zeige $\begin{eqnarray} \pi(U_1)\cap\pi(U_2)=\{\overline 0\} \end{eqnarray}$
11.03.2012, 14:08	RocknRolla	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi und Danke Ich dachte mir schon, dass das noch zu hoch für mich ist ( keine erfahrung mit Beweisen) Ich versuchs trotzdem Sei $\begin{eqnarray} V=\left\{v_1,v_2, .... v_n\right\} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} V=U_1+U_2 \end{eqnarray}$ kann angenommen werden: $\begin{eqnarray} U_1=\left\{v_1,v_2,.... v_m\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2=\left\{v_{m+1},v_{m+2},.... v_n\right\} \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} \pi (U_1)+ \pi (U_2)= \left\{v_1+W,v_2+W,.... v_m+W\right\}+\left\{v_{m+1}+W,v_{m+2}+W,.... v_n+W\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left\{v_1+W,v_2+W,.... v_m+W, v_{m+1}+W,v_{m+2}+W,.... v_n+W\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left\{v_1+W,v_2+W, .... v_n+W\right\}= \pi (V) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_1 \cap U_2 =\left\{v_1,v_2,.... v_m\right\} \cap \left\{v_{m+1},v_{m+2},.... v_n\right\}={0} \end{eqnarray}$ Kann ich das so machen?
11.03.2012, 17:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das geht nicht. Vektorräume sind keine endlichen Mengen. Den Quotientenraum hast du mißverstanden, auch die kanonische Projektion funktioniert ganz anders. Eine ausführliche Beweisskizze habe ich bereits geliefert, mehr geht nicht. Da dir leider die Grundlagen fehlen, kommst du sicher nicht weiter. Tipp: Erst studieren, dann beweisen.

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