Zeigen dass eine stetige, injektive Fkt. monoton ist

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chris85 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen dass eine stetige, injektive Fkt. monoton ist
Hallo,

Ich habe beim Rückweg dieser Aufgabe ein Problem, weil ich den Zwischenwertsatz noch nicht richtig anwenden kann.
Ich hoffe dass mir jemand helfen kann.

Aufgabe:
Zeigen Sie: Eine stetige Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie streng monoton (wachsend oder fallend) ist.

Den Hinweg (Monotonie --> Injektivität) habe ich schon gemacht!
Ich hänge am Rückweg bzw. beim Anwenden des Zwischenwertsatzes.


So habe ich es bisher versucht:
Zu zeigen: f: [a,b] ist stetig und injektiv , so ist f streng monoton
Ich setze .Da die Funktion injektiv ist kann man o.B.d.A annehmen dass ist.
Als nächstes will ich zeigen dass f streng monoton wachsend auf [a,b] ist.
Seien nun mit .
Ich nehme jetzt an dass ist und wende hier den Zwischenwertsatz an,wodurch ich dann einen Widerspruch zur Injektivität bekomme.

Naja ich weiß so langsam nicht mehr ob man das so machen kann. Könnte mir bitte jemand helfen?

Gruß Chris
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie du es momentan aufgeschrieben hast, sind etwas viele Fallunterscheidungen oder o.B.d.A.'s nötig...

Ich würde es auch mit einem indirekten Beweis angehen, aber so:

Ist nicht streng monoton, dann gibt es drei Zahlen mit entweder

oder .

O.B.d.A. ( Augenzwinkern ) kann man sich auf den ersten Fall beschränken, ansonsten betrachte man statt .

Jetzt bleiben noch die Fälle mit Anwendung des ZWS in für den Funktionswert , sowie mit Anwendung des ZWS in für den Funktionswert .


EDIT: Hmm, das mit dem ist ein wenig sinnlos. Das sollte man vielleicht vorab ausschließen, da das sowieso der Injektivität widerspricht.
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das ganze nicht so richtig wie du das mit den 3 Zahlen gemacht hast. Kannst du mir das nochmal erklären?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also mal streng logisch und über-überausführlich: Wir gehen von einer injektiven Funktion aus, da muss erstmal für alle auch gelten, also entweder oder .

Nächster Punkt: Für eine streng monoton wachsende Funktion folgt insbesondere, dass für alle die Doppelungleichung gilt.
Für eine streng monoton fallende Funktion folgt ebenso, dass für alle die Doppelungleichung gilt.

Daraus folgt nun für eine beliebige streng monotone Funktion:

Für alle gilt oder .

Jetzt gehe ich doch mal zu Quantoren über:



Jetzt der indirekte Beweis, da wird Aussage (*) negiert:



oder umgeschrieben nach Distributivgesetzen der Logik



Nach Ausschluss der nicht möglichen Gleichheit wegen Injektivität bleibt die Existenzaussage



Gefällt dir das besser? Augenzwinkern
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur,

Jetzt hab ich das mit den 3 Zahlen verstanden.Das hast du super erklärt!
Und jetzt muss ich den ZWS anwenden,richtig?

Der ZWS besagt doch folgedes:
Sei f stetig auf dem Intervall und liege zwischen und . Dann gibt es ein mit .

Mit welcher Annahme muss ich jetzt den ZWS anwenden?
Für monoton wachsend gilt ja folgendes auf einem Intervall oder?
Wie mach ich das jetzt am besten?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Könnte mir jemand einen Vorschlag machen wie ich am besten weiternachen kann?

Gruß Chris
 
 
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