Permutationsmatrix: Verständnisproblem

19.01.2007, 18:15

Frank19

Permutationsmatrix: Verständnisproblem

Guten Abend,

ich sitze gerade hier und versuche mir das Wissen über Permutationen und Permutationsmatrizen anzueignen. Allerdings habe ich da ein paar Verständnisprobleme. Mir ist klar was eine Permutationsmatrix macht und auch was eine Permutation ist, allerdings komme ich mit der Notation überhaupt nicht zurecht und hoffe ihr könnt mich da etwas unterstützen.

Zunächste mal eine Frage zur zyklischen Permutation:
$\begin{eqnarray*} \sigma_1 = (1,2,3) \ und \ \sigma_2 = (2,3,4) \end{eqnarray*}$

Definition: $\begin{eqnarray*} \sigma = \sigma_1 \ komposition\ \sigma_2 \end{eqnarray*}$

Nun werden einzelne Bilder berechnet: Bild von 1: Wegen
$\begin{eqnarray*} \sigma_2(1)=1 \Rightarrow \sigma(1)=\sigma_1(1)=2 \end{eqnarray*}$

Wie kommen die darauf? Ich durschaue einfach nicht, welche Indizes usw. wie verwendet werden? Also was wird bei dieser Permutation auf was abgebildet?

Das geht noch weiter:
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)= \sigma_1(\sigma_2(2))=\sigma_1(3)=1 \end{eqnarray*}$

Hier wieder das gleiche Problem? Warum ist Sigma_1(3)=1?

Das ganze kommt dann noch dicker mit der Singum-Funktion? Ich glaube dass ich das ganze verstehen würde, wenn mir klar wäre, welches Element jeweils auf welches abgebildet wird?!

Vielen Dank ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

19.01.2007, 19:42

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RE: Permutationsmatrix: Verständnisproblem
$\begin{eqnarray*} \sigma_1 = (1,2,3) \end{eqnarray*}$

ist als Zyklenschreibweise die Kurzform für

$\begin{eqnarray*} \sigma_1(1) &=& 2\\ \sigma_1(2) &=& 3\\ \sigma_1(3) &=& 1\\ \sigma_1(k) &=& k\quad\mbox{für alle anderen}\;k \end{eqnarray*}$

Ebenso ist $\begin{eqnarray*} \sigma_2 = (2,3,4) \end{eqnarray*}$ die Kurzform für

$\begin{eqnarray*} \sigma_2(2) &=& 3\\ \sigma_2(3) &=& 4\\ \sigma_2(4) &=& 2\\ \sigma_2(k) &=& k\quad\mbox{für alle anderen}\;k \end{eqnarray*}$

Und dann einfach Funktionsverkettung - alles klar?

19.01.2007, 20:45

Frank19

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Woher weißt du das? Woran sieht man das?
Naja die Komposition verstehe ich dann schon, aber kannst du mir das nochmal plausibel machen, woran man das genau sieht?!

Kannst du vielleicht noch auf die Signumfunktion eingehen? Die ist ja entweder 1 oder -1 aber wann ist sie -1 und wann 1? Das hängt doch auch wieder von der Permutation ab....
DANKE

19.01.2007, 20:58

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Nochmal: $\begin{eqnarray*} (1,2,3) \end{eqnarray*}$ ist die Zyklusschreibweise!!!

Das heißt: 1 wird auf 2 abgebildet, 2 wird auf 3 abgebildet, und als Abschluss wird das letzte Element 3 auf das erste Element 1 des Zyklus abgebildet.

Müsst ihr doch gehabt haben, hast du da gefehlt?

20.01.2007, 13:12

Frank19

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Ich war bisher immer da, aber manchmal geht so etwas einfach an mir vorbei. Mit Permutationen beschäftigten wir uns vor Weihnachten noch. Und erst jetzt hat er das Skript freigegeben und nun komme damit nicht so zu recht. Heißt 3,4,5 zb. dann das die 3 auf 4 die 4 auf 5 und die 5 auf 3 geht? Oder 3,1,2 heißt dann 3 auf 1, 1 auf 2 und und 2 auf 3 oder wie?
Alle anderen bleiben also gleich, und wann habe ich bei signum +1 und wann -1?

20.01.2007, 13:59

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Zitat:

Original von Frank19
Ich war bisher immer da, aber manchmal geht so etwas einfach an mir vorbei. Mit Permutationen beschäftigten wir uns vor Weihnachten noch. Und erst jetzt hat er das Skript freigegeben und nun komme damit nicht so zu recht. Heißt 3,4,5 zb. dann das die 3 auf 4 die 4 auf 5 und die 5 auf 3 geht? Oder 3,1,2 heißt dann 3 auf 1, 1 auf 2 und und 2 auf 3 oder wie?
Alle anderen bleiben also gleich

Ja, richtig. Und insofern ist auch klar, dass die Zyklenschreibweisen
$\begin{eqnarray*} (1,2,3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2,3,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3,1,2) \end{eqnarray*}$
alle dieselbe Permutation beschreiben.

Zitat:

Original von Frank19
und wann habe ich bei signum +1 und wann -1?

Da bringst du in einem beiläugigem Nebensatz ein ganz anderes Problem auf den Tisch:

http://de.wikipedia.org/wiki/Signum_%28M...n_Permutationen

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