Beweis: Ableiten von 3^x

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19.01.2007, 19:25

lalalal

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Beweis: Ableiten von 3^x

Hey,

weiß jemand wie man den Beweis von 3^x führt?

Schon mal danke für eure Antworten.

19.01.2007, 19:26

lalalal

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also den beweis zum Ableiten ^^

19.01.2007, 19:52

kiste

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Schreib 3^x als e-Funktion dann kannst du die bekannte Ableitungsregel dafür und die Kettenregel benutzen

19.01.2007, 19:58

GuildMaster

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sei
$\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ ohne 1
$\begin{eqnarray*} f(x)=b^{x} \end{eqnarray*}$
so gilt:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(b^{x})'=(e^{ln(b)^{x}})'=(e^{x*ln(b)})' \end{eqnarray*}$

nun kettenregel anwenden und du bist am ziel.

19.01.2007, 21:12

pseudo-nym

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Warum so kompliziert? Für sowas gibt's ne Regel:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a \end{eqnarray*}$

19.01.2007, 21:14

kiste

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Weil die Regel vllt. bewiesen werden will? Augenzwinkern

Sonst würde ja kaum Beweis drüber stehen

19.01.2007, 21:16

pseudo-nym

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Dann hilft aber umformen auch nichts, da benutzt man nur andere Regeln. Wenn man streng beweisen will, dann ist der Differenzenquotient angesagt.

19.01.2007, 22:34

TommyAngelo

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ma ne frage: stimmt das?

$\begin{eqnarray*} f(x)=3^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x*(3^{x-1}) \end{eqnarray*}$

19.01.2007, 22:40

Musti

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nein

19.01.2007, 23:28

TommyAngelo

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aber warum ist dann das hier richtig:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{3-1} \end{eqnarray*}$

19.01.2007, 23:31

mYthos

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@Tommy

So kannst du nur ableiten, wenn im Exponenten eine Konstante steht; da hier aber die Variable x der Exponent ist, ist dies eine Exponentialfunktion und wird demnach als solche - wie $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ behandelt:

$\begin{eqnarray*} (a^x)^{'} = a^x \cdot \ln a \end{eqnarray*}$

mY+

19.01.2007, 23:32

kiste

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Im einen Fall hast du ein Polynom im anderen Fall eine Exponentialfunktion.
Oder einfacher ausgedrückt: einmal steht das x unten, einmal oben.
Das ist ein wichtiger Unterschied das 3^x ja viel schneller als x^3 gegen unendlich geht, folglich also auch eine verschiene Steigung hat.

Bei Polynomen gilt also:
$\begin{eqnarray*} (x^n)' = n\cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$
Bei Exponentialfunktionen:
$\begin{eqnarray*} (a^x)' = a^x\cdot ln(a) \end{eqnarray*}$

19.01.2007, 23:34

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@pseudonym:

Zitat:

Original von pseudo-nym
Dann hilft aber umformen auch nichts, da benutzt man nur andere Regeln. Wenn man streng beweisen will, dann ist der Differenzenquotient angesagt.

Ja, aber man kann auch ein Problem auf ein bereits bewiesenes zurückführen. Das ist durchaus legitim. In dem Fall wurde auf eine verkettete Funktion zurückgeführt, und wenn man die Ableitung der Kettenregel bewiesen hat, so hat man sofort auch DIESE Ableitung bewisen.
Ansonsten würde ich gerne mal sehen, wie du über den Differenzquotienten darauf kommst. Dürfte eine ziemliche Arbeit sein...

@TommyAngelo:
Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \quad \Rightarrow~f'(x)=3x^{3-1} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du doch daraus nicht schließen, dass das auch für Variablen im Exponent gilt, denn die Regel ist lediglich auf Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ anwendbar - und die hier gegebene ist keine Funktion dieser Form.

OK, teilweise zu spät Augenzwinkern

19.01.2007, 23:45

TommyAngelo

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jo ok danke. dann weiß ich es jetzt.

20.01.2007, 21:31

pseudo-nym

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Zitat:

Original von MI
Ja, aber man kann auch ein Problem auf ein bereits bewiesenes zurückführen. Das ist durchaus legitim. In dem Fall wurde auf eine verkettete Funktion zurückgeführt, und wenn man die Ableitung der Kettenregel bewiesen hat, so hat man sofort auch DIESE Ableitung bewisen.

Klar kann man, aber ich finde das jetzt nicht so toll wenn man auch einen tiefgründigeren Beweis führen kann.

Zitat:

Original von MI
Ansonsten würde ich gerne mal sehen, wie du über den Differenzquotienten darauf kommst. Dürfte eine ziemliche Arbeit sein...

Man muss nicht unbedingt den Differenzenqoutienten der Exponentialfunktion bilden. Es reicht die Ableitungsvorschrift für Logarithmen zu bilden (sei mir hier erspart, bei Bedarf bitte Literatur wälzen/googeln), $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$ zu logarithmieren und das ganze dann zu Differenzieren.

20.01.2007, 21:44

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Egal was du machst: Wenn du NICHT den Differenzquotienten direkt bildest, führst du das Problem auf bereits bekannte Probleme zurück und löst es damit. Und dann ist es meiner persönlichen Einschätzung nach auch egal, wie du's machst. In jedem Fall entwickelst du zuerst eine (oder mehrere) andere Ableitungsregeln und führst dein Problem darauf zurück.

Gruß
MI

21.01.2007, 13:58

lalalal

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UNd was ist jetzt mit dem Beweis?
Wie mache ich das genau mit dem Differenzquotient?
Ich mein, dass ich sowas schon mal in 11 gemacht haben und dass man da die Funktion in irgendeine Formel einsetzen muss und nachher h oder so gegen 0 laufen lässt.
Kann mir da jemand bei helfen?

21.01.2007, 14:43

pseudo-nym

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Nun wie ich geschrieben habe wäre der Ansatz die Logarithmusfunktion abzuleiten mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\frac{\log_a(x+ \Delta x)-\log_ax}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

wenn du einen Beweis haben willst, der direkt auf dem Grenzwert fußt. Ansonsten geht auch eine Umformung und der Beweis mit der Kettenregel.

@MI:
Die meisten Beweise beziehen sich auf andere Probleme, ich finde nur die Idee eine Regel mit Hilfe einer verwandten Regel herzuleiten nicht so schön, es sei denn man beweist diese verwandte Regel für sich noch mal.

21.01.2007, 15:47

kiste

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@pseudo-nym
Aber ist es nicht einfacher durch die Definition von e^x als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ zu folgern das gilt: $\begin{eqnarray*} (e^x)' = e^x \end{eqnarray*}$ als durch den Logarithmus?

Edit: Bzw. sich auf die Definition der e-Funktion als Funktionalgleichung zu beziehen?

21.01.2007, 16:16

pseudo-nym

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Klingt interessant. Wie genau meinst du von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ zu folgern?

21.01.2007, 16:33

kiste

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$\begin{eqnarray*} a^x = e^{ln(a^x)} = e^{x\cdot lna} \end{eqnarray*}$
Die Eigenschaften der Logarithmusfunktion folgen aus der Definition als Umkehrfunktion der e-Funktion.
Die Ableitung des ln folgt mit der Umkehrregel und die Kettenregel dann aus dem Differentialquotienten

21.01.2007, 16:58

pseudo-nym

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Geht auch. ich wollte eben einen Weg einschlagen, der keiner anderen Differentiationsregel bedarf, aber warum nicht.

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