T3-Raum muss nicht T2 oder T1 sein

11.03.2012, 13:00

Gast11022013

T3-Raum muss nicht T2 oder T1 sein

Meine Frage:
Zeige, daß jede nicht einpunktige Menge, versehen mit der indiskreten Topologie, ein $\begin{eqnarray*} T_3 \end{eqnarray*}$ -Raum, aber kein $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ - und kein $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ -Raum ist.

Meine Ideen:
Moin, da ich mich mit diesen Trennungseigenschaften noch recht schwer tue, wollte ich diese Aufgabe mal versuchen...

$\begin{eqnarray*} T_3 \end{eqnarray*}$ : Jede abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq X$ \end{eqnarray*}$ und jeder Punkt $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus A \end{eqnarray*}$ haben disjunkte Umgebungen.

Ich nehme also eine abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ her.
Da das Komplement $\begin{eqnarray*} X\setminus A \end{eqnarray*}$ dann offen sein muss und die Topologie ja nur $\begin{eqnarray*} \left\{X,\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$ ist, kann es sich bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ja nur um $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ handeln.

Ist $\begin{eqnarray*} A=X \end{eqnarray*}$ , so wähle als Umgebung von A einfach X.
Da die leere Menge keine Elemente enthält, gibts auch kein $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus X=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,für das man irgendwie zeigen müsste, daß es eine disjunkte Umgebung zu X hat.

Ist $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ , so muss man keine Umgebung von A finden (denn das heißt ja man muss eine Menge U finden, für die gilt $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(a)~\forall~a\in A \end{eqnarray*}$ , da es aber kein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gibt, ist das hinfällig). Anderseits findet man für jedes $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus\emptyset \end{eqnarray*}$ eine Umgebung, nämlich die offene Umgebung X.

Alles in allem handelt es sich also um einen $\begin{eqnarray*} T_3 \end{eqnarray*}$ -Raum.

Bleibt noch zu zeigen, daß es kein $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ -Raum und kein $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ -Raum ist.

Angenommen es würde sich doch um einen solchen handeln.

$\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ : Je zwei verschiedene Punkte aus X besitzen disjunkte Umgebungen.

Seien $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ zwei Punkte aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (die gibt es, da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nach Annahme nicht einpunktige Menge ist). Dann gebe es eine Umgebung U von x und eine Umgebung V von y, d.h.

$\begin{eqnarray*} x\in O\subseteq U, O\in\left\{X,\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y\in O'\subseteq V, O'\in\left\{X,\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

Dann sind die Umgebungen aber nie disjunkt, denn $\begin{eqnarray*} X\cap\emptyset =X \end{eqnarray*}$ .

(Beziehungsweise: In beiden Fällen kommt ja eigentlich nur $\begin{eqnarray*} O=O'=X\Rightarrow U=V=X \end{eqnarray*}$ in Frage und damit $\begin{eqnarray*} U\cap V=X \end{eqnarray*}$ . Deswegen handelt es sich auch um keinen $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ -Raum, denn eine Umgebung, die x enthält, enthält auch y (und umgekehrt)).

Wer kann mir sagen, ob das so korrekt ist?

LG

11.03.2012, 14:20

I love topo

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RE: T3-Raum muss nicht T2 oder T1 sein

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X\cap\emptyset =X \end{eqnarray*}$ .

ist falsch.

Die Argumentation in der letzten Klammer ist richtig: X ist die einzige Umgebung jedes Punktes, also ist der Schnitt der Umgebungen zweier Punkte auch immer X, also nichtleer.

Ansonsten ists ok.

11.03.2012, 14:36

Gast11022013

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RE: T3-Raum muss nicht T2 oder T1 sein
Dankeschön!

Edit: Ich weiß gar nicht, wie ich auf diesen blöden Fehler gekommen bin...
Peinlich.

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