Trigonometrische Darstellung von z (komplexe Zahlen)

19.01.2007, 19:34

yoh36

Trigonometrische Darstellung von z (komplexe Zahlen)

hallo,

ich habe ein problem mit der darstellung von einer komplexen zahl z (algebraische form):
a +bi
...in eine trigonometrische form umzuwandeln.

was ich von den regeln bisher kenne ich verstehe ist:
r = |z| = wurzel aus (a² + b²)
sin @ = b/r
cos @ = a/r

die trigonometrische darstellung soll dann folgendermaßen ausschauen:
z = (a,b) = a + bi = r * (cos @ + i sin @)

wie das r bestimmt verstehe ich, aber wie man die werte des sinus erreicht bzw die des cosinus kann ich nicht nachvollziehen, weder in grad noch in "pi".

folgende regeln in meinen aufzeichnungen habe ich für euch mal abfotografiert:
Regeln

Beispiel 1

Beispiel 2

Spezielle Fragen zu den Beispielen:
Beispiel 1:
1. Wieso wird aus:
sin @ = b/r = 1/ wurzel (2) auf einmal 1/2 * wurzel (2)
das ist doch rechnerisch nicht möglich. Wie kann die wurzel 2 auf einmal sozusagen im nenner stehen???
2. wieso ist bei:
cos @ = a/r = wurzel (2)/2
auf einmal r im zähler???
3. was bedeutet "k", was ist "k" bei den winkeln???

Ich verstehe dies absolut nicht wie auf die Winkel kommt, die Errechnung von r stellt kein Problem dar, nur bei dem Rest bin ich wirklich noch Grün hinter den Ohren... unglücklich

19.01.2007, 19:40

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Mitunter empfindet man es "unschön", Wurzeln im Nenner zu haben. Also erweitert man passend:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Sehr seltsam, dass du das noch nie gesehen hast.

19.01.2007, 19:44

sascha_the_king

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1. na, weil das äquivalent ist!
2. siehe 1.
3. da soll es wohl darum gehen, dass die darstelllung der polarkoord. zunächst nicht eindeutig ist (?) bin da aber auch nicht so der guru Augenzwinkern

19.01.2007, 19:45

yoh36

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danke, doch jetzt wo du es sagst leutet es mir natürlich ein. nur warum man es nicht einfach dabei belässt scheint mir fragwürdig.
ich brauche meistens einfach nur den weg, den ich nachvollziehen kann.

das wäre aber auch nur ein kleiner teil dessen, was mir schwierigkeiten bereitet.
habt ihr eine erklärung für meine anderen fragen ???

19.01.2007, 23:12

Cordovan

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Gruße!

Zu 3.:
Die Darstellung in Polarkoordinaten ist niemals eindeutig. Stelle dir die Zahl als einen Vektor in der komplexen Zahlenebene vor. Dabei hast du einen Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , ausgehend von der rellen Achse im 1. Quadranten. Wenn du diesen Winkel jetzt um $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ erhöhst, bist du wieder an der gleichen Stelle. Daher haben alle komplexen Zahlen die Darstellung $\begin{eqnarray*} |r|\cdot e^{i\varphi+2\cdot k\cdot \pi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Cordovan

22.01.2007, 09:02

yoh36

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ok Danke. Aber könntet ihr mir nochmal erklären wie ich dann rechnen muss, um auf die Cosinus Wunkel und Sinus Winkel zu kommen ???

Wie rechne ich denn auch nochmal Winkel in "pi" um ???

22.01.2007, 09:16

derkoch

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Zitat:

Original von yoh36
ok Danke. Aber könntet ihr mir nochmal erklären wie ich dann rechnen muss, um auf die Cosinus Wunkel und Sinus Winkel zu kommen ??

$\begin{eqnarray*} tan\gamma= \frac{y}{x}=\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von yoh36
Wie rechne ich denn auch nochmal Winkel in "pi" um ???

Das darfst du selber ausknobeln, ist nicht sooo schwer( wollen ja nicht daß du "arbeitslos" wirst! smile

22.01.2007, 13:20

yoh36

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mensch mensch... mit knobeln komme ich da auch nicht weiter. verwirrt

aber habe es mir heute erklären lassen, man muss ja in so eine tabelle schauen und da die gradzahlen ablesen...

gibts die tabelle egtl irgendwo im netz ?

22.01.2007, 14:24

mYthos

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Brauchst ka Tabelle!

$\begin{eqnarray*} arc(\alpha^{\circ}) = \frac{\pi}{180} \cdot \alpha^{\circ} \end{eqnarray*}$

mY+

Keine HS-Mathematik.

*verschoben*

23.01.2007, 10:21

yoh36

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aha, und wie setze ich dann zB mein erhaltenes $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ in ihre Formel ein?

23.01.2007, 11:54

mYthos

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Da verwechselts du offensichtlich etwas, denn es spielt sich doch zuerst noch was anderes ab!

Es ist aus

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

zunächst $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu berechnen!

$\begin{eqnarray*} \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Je nachdem, in welchen Modus (DEG oder RAD) dein TR geschaltet ist, spuckt dieser - wenn du den Wert für $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ eingibst und die Tasten INV SIN (oder ähnliche) drückst - entweder 45 oder einen Wert wie 0,785.. aus. Letzterer ist genau das Bogenmaß von 45°, und nichts anderes beschreibt "meine" Formel.:

$\begin{eqnarray*} arc(45^{\circ}) = \frac{\pi}{180} \cdot 45 = \frac{\pi}{4} = 0,785.. \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du hast das jetzt verstanden.

mY+

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