T3a-Raum ist T3-Raum

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11.03.2012, 14:06	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
T3a-Raum ist T3-Raum Meine Frage: Ein topologischer Raum X heißt... ... $\begin{eqnarray} T_3 \end{eqnarray}$ -Raum, wenn jede abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray} A\subseteq X \end{eqnarray}$ und jeder Punkt $\begin{eqnarray} x\in X\setminus A \end{eqnarray}$ disjunkte Umgebungen besitzen. ... $\begin{eqnarray} T_{3a} \end{eqnarray}$ -Raum, wenn es zu jeder abgeschlossenen Menge $\begin{eqnarray} A\subseteq X \end{eqnarray}$ und jedem Punkt $\begin{eqnarray} x\in X\subseteq A \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} f\colon X\to [0,1] \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f(x)=1, f(A)\subseteq\left\{0\right\} \end{eqnarray}$ . Zeige: Jeder $\begin{eqnarray} T_{3a} \end{eqnarray}$ -Raum ist ein $\begin{eqnarray} T_3 \end{eqnarray}$ -Raum. Meine Ideen: Sei X nun ein $\begin{eqnarray} T_{3a} \end{eqnarray}$ -Raum. Sei $\begin{eqnarray} \emptyset\neq A\subseteq X \end{eqnarray}$ abgeschlossen, $\begin{eqnarray} x\in X\setminus A \end{eqnarray}$ . Es gibt eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} f\colon X\to [0,1] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(A)\subseteq\left\{0\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)=1 \end{eqnarray}$ . Um nun zu zeigen, daß es sich auch um einen $\begin{eqnarray} T_3 \end{eqnarray}$ -Raum handelt, muss ich eine Umgebung von A und eine Umgebung von x finden, die disjunkt sind. Im Boto von Querenburg steht, daß man in $\begin{eqnarray} f^{-1}([0,1/2[) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{-1}(]1/2,1]) \end{eqnarray}$ offene, disjunkte Umgebungen von A bzw. x erhält. Ich hab das noch nicht verstanden, wieso ist beispielsweise $\begin{eqnarray} f^{-1}([0,1/2[)=\left\{x\in X~\|~f(x)\in [0,1/2[\right\} \end{eqnarray}$ eine offene Umgebung von A, also $\begin{eqnarray} f^{-1}([0,1/2[)\in\mathcal{U}(a)~\forall~a\in A \end{eqnarray}$ ? Edit: Ist das bezüglich des Unterraums $\begin{eqnarray} X'=\left\{x\in X~\|~f(x)\in [0,1]\right\} \end{eqnarray}$ mit der Unterraumtopologie gemeint?
11.03.2012, 14:15	I love topo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, $\begin{eqnarray} f^{-1}(1) \end{eqnarray}$ ist ja offenbar eine Obermenge von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Das heisst, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(]0.5,1]) \end{eqnarray}$ eine offene Umgebung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist, weil $\begin{eqnarray} ]0.5,1] \end{eqnarray}$ offen ist. Und genauso ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(0) \end{eqnarray}$ Obermenge von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{-1}([0,0.5[) \end{eqnarray}$ offene Umgebung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Außerdem liegt natürlich nicht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} f^{-1}([0,0.5[) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} f^{-1}(]0.5,1]) \end{eqnarray}$ . Und disjunkt sind die beiden Mengen natürlich auch.
11.03.2012, 14:19	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber warum ist $\begin{eqnarray} ]1/2,1] \end{eqnarray}$ denn offen? Bezüglich der Topologie auf X? Oder bezüglich einer anderen Topologie (s. letztes Edit im ersten Beitrag)? Achsoooooooooooo, die STETIGKEIT, daher weiß man das... Sorry.
11.03.2012, 14:24	I love topo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit? Von der weiß man, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(]0.5,1]) \end{eqnarray}$ offen ist, d.h. offene Umgebung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . (Stetig: Urbilder offener Mengen sind offen) Dass ]0.5,1] offen ist ist klar: [0,1] ist der Raum in den f abbildet und der ist mit der Unterraumtopologie von \|R verstehen.
11.03.2012, 14:33	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Stetigkeit... Hatte ich noch schnell meinem letzten Beitrag zugefügt, aber Du warst schneller. Ja, bezüglich der Unterraumtopologie auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} ]0.5,1] \end{eqnarray}$ natürlich offen, denn es sei etwa $\begin{eqnarray} ]0.5,2[ \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , so ist halt $\begin{eqnarray} [0,1]\cap ]0.5,2[=]0.5,1] \end{eqnarray}$ offen in dem Unterraum.
11.03.2012, 14:40	I love topo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Der Stetigkeitskommentar bezog sich übrigens schon auf dein Edit. Ich meinte da herausgehört zu haben, dass die Offenheit von ]0.5,1] irgendetwas mit der Stetigkeit von f zu tun hat, und das ist wie du gerade schon erkannst hast, nicht der Fall.
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11.03.2012, 14:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank für Deine Hilfe! (Ich merke immer mehr, wie stark es darauf ankommt, wie gut jemand erklären kann. Wenn der Topologie-Professor bloß auch lehren könnte... wäre mir Vieles viel früher klar geworden. Mein Topologielehrer ist eigentlich "Boto von Querenburg"... und das Matheboard.)
11.03.2012, 16:50	I love topo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das merkt man an der Fülle von Threads, die von dir stammt ^_^ Übrigens gibt es Boto gar nicht, das sind mehrere Leute ... aus Querenburg siehe wikipedia für mehr Infos. Je nachdem wieviel Zeit du gerade für Topologie noch aufwenden willst kann ich dir noch was besonders hilfreiches an die Hand geben, mit dem du schnell das Gefühl für Topologie bekommst, das sich bei dir, wenn ich mir die Threads anschaue, bisher noch nicht so ganz eingestellt hat Und zwar kannst du mal bei Amazon 'Counterexamples in Topology' suchen und via Blick ins Buch lesen (irgendwie ist >50% des Buches dort eingescannt), das mit deinem bisherigen Wissensstand gut lesbar ist. Da stockt man anfangs auch kurz bei jeder Zeile, aber mit der Zeit hakt man immer schnell im Kopf ab, was da steht.
11.03.2012, 17:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Daß es Boto nicht gibt, ist mir klar, deswegen hatte ich den Namen in Anführungszeichen gesetzt, aber ich sage trotzdem immer: "Boto v. Querenburg sagt..." Ja, ich meine zwar die Konzepte einigermaßen verstanden zu haben, seitdem ich mir das mit dem Boto quasi selbst erarbeite, aber das "Feeling" ist in der Tat noch nicht so ganz da, aber vielleicht kan man das auch nicht in der kurzen Zeit erwarten. Ich hoffe dennoch, daß es für die noch anstehende mündl. Prüfung ausreicht.
11.03.2012, 17:57	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
In andere Threads nochmal reinschauen hältst du nicht für nötig? air
11.03.2012, 19:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, halte ich für nötig, bin aber noch nicht dazu gekommen.
11.03.2012, 19:58	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sehr merkwürdig, wo du diesen ganzen Thread erstellt und durchgearbeitet hast, am Tag nach meiner Antwort im anderen Thread. Nunja. air
11.03.2012, 21:04	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte Dich jedenfalls dadurch nicht beleidigen und danke Dir für Deine Hilfe in dem Thread.
12.03.2012, 00:20	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist schon in Ordnung. Durchaus merkwürdig, aber in Ordnung. air
12.03.2012, 00:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nochmal eine weitere Frage, die ich (glaube ich) ruhig hier platzieren kann. Wenn eine Topologie eine Subbasis hat, so kann man ja jede offene Menge als Vereinigung endlicher Schnitte aus Elementen der Subbasis darstellen. Wie ist das mit den Elementen der Subbasis selbst (das sind ja auch offene Menge)? Stellt man sie dann einfach als Schnitt mit sich selbst dar und als Vereinigung mit sich selbst?
12.03.2012, 22:55	I Love Topo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Schnitt muss nicht zwingend über mehrere Elemente gehen: $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1}^1 S_i=S_1 \end{eqnarray}$ . Genauso für Vereinigungen. Genau genommen müssen Schnitt und Vereinigung sogar über gar keine Elemente gehen, weshalb übrigens in der Definition der Topologie die Forderung, dass der ganze Raum und die leere Menge in der Top liegen sollen, zuviel ist: Denn der leere Schnitt ist der ganze Raum, und die leere Vereinigung ist die leere Menge, d.h. mit der Forderung, dass endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen von offenen Mengen auch noch offen sind, sind der Raum und die leere Menge automatisch auch offen. ^_^ Der Ausdruck "Schnitt/Vereinigung mit sich selbst" ist auf keinen Fall zweckdienlich.

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