Partielle Integration sin(x)*x ?

11.03.2012, 18:15

Tarrew

Partielle Integration sin(x)*x ?

Meine Frage:
Hallo Community.

Wir machen grad in der Schule partielle Integration.
Wollte das mal üben und wollte das mit dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sin(x) * x \, dx \end{eqnarray*}$ machen.

Hatte als u`(x) das sin(x) gewählt, da es ja leicht zu integrieren ist.
Dementsprechend habe ich als v(x) das x gewählt.

Also ergibt sich daraus ja das u(x)= cos(x) und v`(x) = 1 sind.

Die Regel ist ja: Nur das ich anstatt f und g die Werte jetzt u und v genannt habe.

\int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x.

Meine Ideen:
Da kam ich zu folgendem Ansatz bzw Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin(x) \, dx = \left[cos(x) * x\right] - \int_a^b \! cos(x) * 1 \, dx <br /> = cos(x) * x - cos(x)<br /> \end{eqnarray*}$

Sooo. Jetzt hat mir Wolfram Alpha allerdings verraten, dass das falsch ist. Bei der richtigen Lösung ist wohl noch ein sin(x) mit drin etc. Weiß nicht wie man darauf kommen soll bzw was ich falsch gemacht habe.

Hab alles genauso gemacht wie bei dem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{x} * x \, dx \end{eqnarray*}$

Da kam allerdings das Richtige raus.

vllt kann mir von euch einer helfen.

Danke

=)

11.03.2012, 18:22

Mulder

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RE: Partille Integration sin(x)*x ?
Okay, zwei (eigentlich drei, aber einer gleich doppelt) Fehler haben sich da eingeschlichen:

Zitat:

Original von Tarrew
Meine Ideen:
Da kam ich zu folgendem Ansatz bzw Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin(x) \, dx = \left[\color{red} cos(x)\color{black} * x\right] - \int_a^b \! cos(x) * 1 \, dx <br /> = cos(x) * x - \color{blue} cos(x) \color{black}<br /> \end{eqnarray*}$

Rot: cos(x) ist keine Stammfunktion von sin(x). Sondern - cos(x).

Blau: Im Integral stand cos(x)*1 in der Zeile zuvor. Dieses cos(x) hättest du noch integrieren müssen! Das hast du nicht getan. Und auch dieses cos(x) muss eigentlich -cos(x) sein.

11.03.2012, 18:31

Tarrew

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Klar jetzt seh ichs erst.

Hab das Integral einfach als Stammfunktion genommen. Also ich muss im Prinzip vom zweiten Integral noch die Stammfunktion extra bilden und dann unter Umständen noch zsmfassen etc und dann bin ich fertig?

Danke auf jeden Fall schonmal =)

11.03.2012, 18:35

Tarrew

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jaaaa. Vielen Dank.

Weil ich sonst immer nur im Integral später e^x stehen hatte hab ich das integral einfach wegelassen weil die Stammfunktion ja dieselbe gewesen wäre.

Blöse angewohnheit. Habs jetzt kapiert meinen Fehler und es ist das richtige rausgekommen.

Vielen Dank.

11.03.2012, 20:09

Tarrew

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aber wo wir das geklärt hätten hab ich nochmal ne Frage.

Wie integriert man simple e-Funktionen wie e^(2x).

Ganz normal also: 0,5e^(2x) oder wie läuft das da?

11.03.2012, 20:26

Mulder

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Ja, das war's schon (Integrationskonstante noch berücksichtigen, wenn du unbestimmt integrierst).

Formal steckt dahinter die Substitution 2x=t.

Aber wenn man so eine verkettete Funktion hat und die innere Funktion ist linear, dann gibt's da ja auch eine feste Regel für:

$\begin{eqnarray*} \int f(ax+b) \, \dd x = \frac{1}{a} F(ax+b) +C \end{eqnarray*}$

wobei F eine Stammfunktion von f ist.

11.03.2012, 20:40

Tarrew

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Gilt das nur für e-Funktionen?

Weil bei anderen Funktionen muss ich ja eigentlich den Exponenten um eins erhöhen immer O.o

11.03.2012, 22:03

Mulder

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Das meine ich doch damit, dass F eine Stammfunktion zu f ist. Genau lesen, was ich da schreibe! Beispiel

$\begin{eqnarray*} \int (4x-1)^2 \, \dd x = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} (4x-1)^3 +C \end{eqnarray*}$

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