Integral mit 2 unbekannten.

11.03.2012, 20:18

ome

Integral mit 2 unbekannten.

Hallo zusammen, habe folgenden Integral:

$\begin{eqnarray*} y'= \left(x + y -0,5\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y\left(x\right) = \left(0,5 -\pi \right) \end{eqnarray*}$

ich soll mit,

$\begin{eqnarray*} u= x + y -0,5 \end{eqnarray*}$

substituieren.

MEIN ANSATZ bzw LÖSUNG:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \left(x+y-0,5\right)^{2} \frac{du}{dx} = \left(u\right)^{2} \int_a^b \! 1 \, dx =\int_a^b \! \, \frac{du}{\left(u\right)^{2}} x = -\frac{1}{u} x \cdot u = -1 x\left(x+y-0,5\right) = -1 x^{2}+yx-0,5x = -1 yx = -x^{2}-1,5x y = \frac{-x^{2}-1,5x}{x} y = -x-1,5 \end{eqnarray*}$

So ich habe allerdings nur das Integral ohne Grenze aufgestellt. wäre das nun richtig so? wenn es richtig ist dann werde ich das ganze mit dem Grenzen versuchen was ja nichts weiter sein sollte außer F(b)-F(a)

11.03.2012, 20:32

Helferlein

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RE: Integral mit 2 unbekannten.
Wenn Du schon weisst, dass

Zitat:

Original von ome

$\begin{eqnarray*} y\left(x\right) = \left(0,5 -\pi \right) \end{eqnarray*}$

Macht die Aufgabe nicht wirklich Sinn.

11.03.2012, 20:39

original

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RE: Integral mit 2 unbekannten.

Zitat:

Original von ome

$\begin{eqnarray*} y'= \left(x + y -0,5\right)^{2} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} u= x + y -0,5 \end{eqnarray*}$

substituieren.

die Substitution führt dich auf die DGL:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = u^2 + 1 \end{eqnarray*}$

die kannst du sicher lösen?

nebenbei:
die Angabe für das Anfangswertchen scheint dir auch etwas verunglückt zu sein?

11.03.2012, 22:09

ome

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ojeeee es sollte wie folgt heißen,

$\begin{eqnarray*} y\left(\pi \right) = 0,5-\pi \end{eqnarray*}$

11.03.2012, 22:13

ome

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RE: Integral mit 2 unbekannten.
[/quote]

die Substitution führt dich auf die DGL:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = u^2 + 1 \end{eqnarray*}$

[/quote]

wie kommst du auf die +1?

11.03.2012, 22:24

Helferlein

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RE: Integral mit 2 unbekannten.
Da original grad offline zu sein scheint:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 1+y'=1+u^2 \end{eqnarray*}$

11.03.2012, 22:31

ome

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RE: Integral mit 2 unbekannten.
stehe grade auf dem schlauch ....

also ich dachte ich kann

$\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$

als

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

schreiben.

11.03.2012, 23:02

Helferlein

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kannst Du, aber was hat das mit der Gleichung zu tun?

11.03.2012, 23:18

ome

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aja wenn ich $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ schreiben kann, dachte ich kann ich dann es auch so schreiben wie ich es oben habe
also $\begin{eqnarray*} dy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ ersetzen und das in der Klammer als $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$

11.03.2012, 23:25

Helferlein

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Da y nicht gleich u ist, kannst Du das nicht einfach so ersetzen.

Vielmehr ist $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac d{dx}~(x+y-0,5)=\frac d{dx}~x+\frac d{dx}~y-\frac d{dx}~0,5=1+\frac{dy}{dx}=1+u^2 \end{eqnarray*}$

11.03.2012, 23:32

ome

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asooo und dann am ende also ab dem minus fehlt es weg weil es keine variable mehr da ist? und noch ne frage, kann ich es auch ohne substituieren machen? also einfach quadrieren und nach variablen umstellen?

//EDIT:

wooooow das Integral aufgelöst sieht ja ziemlich hässlich aus:

$\begin{eqnarray*} arctan\left(x+y-0,5\right) = x \end{eqnarray*}$

und das nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgestellt sieht wie aus? oder habe ich das falsch gelöst?

//EDIT 2:

ist es umgestellt etwa $\begin{eqnarray*} y = tan\left(x\right)-x+0,5 \end{eqnarray*}$

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