Lösung einer Gleichung

11.03.2012, 21:01

Lünsche

Lösung einer Gleichung

Meine Frage:
Aus dem Buch "Mathematik heute 10" S. 112: "Ein Vater will seiner Tochter Tanja einen Zuschuss für ein Mountain-Bike geben. Er macht zwei Angebote:
(1) 10 Euro sofort, am folgenden Tag 12 Euro, am nächsten 14 Euro usw.
Der Betrag wird 14 Tage lang täglich um 2 Euro erhöht.
(2) 3 Cent sofort, am folgenden Tag 6 Cent, am nächsten 12 Cent usw.
Der Betrag wird täglich verdoppelt, ebenfalls 14 Tage lang."

Durch Einsetzen und Zeichen erfährt man, dass sich Angebot 1 bis zum 10. Tag, Angebot 2 ab dem 10. Tag lohnt. Nun meine Frage: Wie kann ich dies rechnerisch herausfinden?

Meine Ideen:
Erstmal habe ich folgende Formeln:
(1) $\begin{eqnarray*} f(t)=10 Euro + (2 Euro)^{\frac{t}{d}} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} f(t)=0,03 Euro * 2^{\frac{t}{d}} \end{eqnarray*}$

Ich denke, ich müsste nun beides gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} 10 Euro + (2 Euro)^{\frac{t}{d}}=0,03 Euro * 2^{\frac{t}{d}} \end{eqnarray*}$
Doch wie ich weiterrechnen müsste, weiß ich nicht. Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

11.03.2012, 22:27

Gualtiero

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RE: Lösung einer Gleichung
Die Variable t steht ja für die Tage, daher muss die erste Funktion lauten: f(t) = 10 + 2*t

Und bei der zweiten Funktion heißt der Exponent einfach t, nicht t/d.

Das Gleichsetzen der beiden Gleichungen ist grundsätzlich richtig, aber meiner Meinung nach gibt es in diesem Fall keine algebraische Lösung. Das geht nur mit einem Näherungsverfahren.

11.03.2012, 22:28

Helferlein

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Formel (1) ist falsch: f(t)=10+2t
Du musst dann aber noch die Beträge addieren, da es ja nur die täglichen Zahlungen sind.

EDIT: Und tschüss, Gualtiero macht weiter.

11.03.2012, 22:34

Luensche

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Oja bei der ersten Fehler habe ich das falsch hingeschrieben, meinte aber mal 2.

Ich denke grundsätzlich sollte $\begin{eqnarray*} \frac{t}{d} \end{eqnarray*}$ möglich sein. Schließlich kürzt sich das d weg.

11.03.2012, 22:37

Lünsche

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Zitat:

Original von Luensche
Oja bei der ersten Fehler habe ich das falsch hingeschrieben, meinte aber mal 2.

Ich denke grundsätzlich sollte $\begin{eqnarray*} \frac{t}{d} \end{eqnarray*}$ möglich sein. Schließlich kürzt sich das d weg.

Und schon wieder hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen. Diesmal sollte es mal $\begin{eqnarray*} \frac{t}{d} \end{eqnarray*}$ heißen.

11.03.2012, 22:43

Lünsche

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RE: Lösung einer Gleichung

Zitat:

Original von Gualtiero
Die Variable t steht ja für die Tage, daher muss die erste Funktion lauten: f(t) = 10 + 2*t

Und bei der zweiten Funktion heißt der Exponent einfach t, nicht t/d.

Das Gleichsetzen der beiden Gleichungen ist grundsätzlich richtig, aber meiner Meinung nach gibt es in diesem Fall keine algebraische Lösung. Das geht nur mit einem Näherungsverfahren.

Wie würde dies denn mit dem Näherungsverfahren aussehen?

12.03.2012, 09:57

Gualtiero

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Zitat:

Original von Lünsche
Diesmal sollte es mal $\begin{eqnarray*} \frac{t}{d} \end{eqnarray*}$ heißen.

Was ist d? verwirrt

Ich fasse mal zusammen, was ich für richtig halte; der Funktionswert stellt die Höhe des täglich ausbezahlten Taschengeldes dar, t ist die Anzahl der Tage:

$\begin{eqnarray*} \text{(1):}\quad f(t)=2 \cdot t +10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(2):}\quad f(t)=2^t \cdot 0,03 \end{eqnarray*}$

Bedenke auch, worauf Helferlein hingewiesen hat: Die Funktionen beschreiben nur die Höhe des täglichen Taschengeldes; wenn Tanja alles Taschengeld spart, musst Du alle Funktionswerte summieren und brauchst andere Formeln.

Ein Näherungsverfahren hier zu erklären, wäre zu aufwändig. Schau Dich mal im Internet um, z. B. unter Newton-Verfahren oder anderen Links.

12.03.2012, 16:48

Lünsche

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Zitat:

Original von Gualtiero

Zitat:

Original von Lünsche
Diesmal sollte es mal $\begin{eqnarray*} \frac{t}{d} \end{eqnarray*}$ heißen.

Was ist d? verwirrt

$\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist die Einheit für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , in dem Fall Tage.

Also ich möchte nicht wissen, welche Möglichkeit am Ende mehr einbringt, sondern wann sich die beiden Möglichkeiten treffen.

12.03.2012, 17:20

Steffen Bühler

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Ich antworte mal kurz in Vertretung...

Zitat:

Original von Lünsche

Zitat:

Original von Gualtiero
$\begin{eqnarray*} \text{(1):}\quad f(t)=2 \cdot t +10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(2):}\quad f(t)=2^t \cdot 0,03 \end{eqnarray*}$

Also ich möchte nicht wissen, welche Möglichkeit am Ende mehr einbringt, sondern wann sich die beiden Möglichkeiten treffen.

Dafür mußt Du die beiden obigen Gleichungen gleichsetzen und t ausrechnen. Und das geht halt nur über Näherungsverfahren, wie geschrieben. Oder ganz primitiv durch Rumprobieren, bis genügend Stellen beisammen sind.

Aber eben nicht mit sowas wie einer pq-Formel oder Ähnlichem.

Viele Grüße
Steffen

12.03.2012, 17:55

Gualtiero

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Danke Steffen_Bühler.

@Lünsche
Und als Ergänzung noch ein Link auf eine Mathe-Seite, die solche Probleme lösen kann.

Gleichsetzen, alles auf eine Seite bringen, und diesen Term gibst Du auf der erwähnten Seite als Funktion ein.
Achtung, Intervall nicht zu klein wählen: 0 bis 15 oder so.

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