monoton wachsend/fallend: cosh(x)

19.01.2007, 21:39	Scranton	Auf diesen Beitrag antworten »
monoton wachsend/fallend: cosh(x) Hallo. Ich möchte zeigen, ob cosh(x) monoton wachsen oder fallend ist. Eigentlich genau das gegenstück zu sinh(x), das ist streng monoton wachsend auf ganz IR. gleiches möchte ich jetzt zur Übung für cosh(x) mal machen. $\begin{eqnarray} cosh(x) =0.5(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cosh'(x) = sinh(x) = 0.5(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^x > 0 \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} -e^{-x}<0 \end{eqnarray}$ auch immer Kann ich da jetzt auf monoton wachsend oder fallend schließen? Also ich weiss ja schon, dass sinh(x) aussieht wie x^3 (also grob gesagt). Also müsste sinh(x) monoton wachsend sein? Aber das kann ich dann für $\begin{eqnarray} -e^{-x} \end{eqnarray}$ gar nicht so einfach ablesen, wie zeige ich das dann also? Gruss
19.01.2007, 21:59	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=\cosh{x} \end{eqnarray}$ ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ monoton. Das kannst du auch an deiner Ableitung sehen. $\begin{eqnarray} f'(x)=\sinh \end{eqnarray}$ hat für x>0 positive Werte, für x<0 negative Werte. Deshalb ist $\begin{eqnarray} f(x)=\cosh{x} \end{eqnarray}$ für x>0 wachsend, für x<0 fallend.

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