uneigentliches Integral berechnen

11.03.2012, 23:16

chillerStudent

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uneigentliches Integral berechnen

Halllo,

ich möchte das folgende Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} \, dt \end{eqnarray*}$

Durch Partialbruchzerlegung bin ich auf das hier gekommen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t+1} f(x) \, dt + \frac{1}{4}\int \! \frac{1}{t-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Stimmt das ?
Wenn ja, dann brauche ich Hilfe bei den Grenzen des Integrals. Was macht man mit unendlich?

11.03.2012, 23:35

original

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RE: uneigentliches Integral berechnen
.
... kannst du bitte diese wundersame "Partialbruchzerlegung" mal vorführen verwirrt

verwirrt

11.03.2012, 23:40

chillerStudent

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ups, ich wusste nicht, dass dies relevant ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} = \frac{a}{t+1} + \frac{bt+c}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

a=-0,5
b=0,5
c=0,5

11.03.2012, 23:49

original

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Zitat:

Original von chillerStudent
ups, ich wusste nicht, dass dies relevant ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} = \frac{a}{t+1} + \frac{bt+c}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

a=-0,5
b=0,5
c=0,5

ok

verwirrt

.. aber das sieht doch dann ganz anders aus als oben notiert:

Zitat:

Original von chillerStudent
Durch Partialbruchzerlegung bin ich auf das hier gekommen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t+1} f(x) \, dt + \frac{1}{4}\int \! \frac{1}{t-1} \, dt \end{eqnarray*}$

? - und nebenbei: was soll da das f(x)?

11.03.2012, 23:59

chillerStudent

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f(x) hab ich vergessen in Editor zu löschen^^

mh... verstehe deine nächste Frage nicht verwirrt

verwirrt

Edit:

Wenn ich a, b und c einsetzte, dann komme ich auf :

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{4}\int \! \frac{1}{t-1} \, dt \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 00:04

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Zitat:

Original von chillerStudent

mh... verstehe deine nächste Frage nicht verwirrt

verwirrt

nochmal ganz langsam:

wenn
$\begin{eqnarray*} \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} = \frac{a}{t+1} + \frac{bt+c}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

a=-0,5
b=0,5
c=0,5

wie kannst du dann damit dieses Integral darstellen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} \, dt = ? \end{eqnarray*}$

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12.03.2012, 00:11

chillerStudent

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so?

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} \, dt = -\frac{1}{2} \int\!\frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{4}\int \! \frac{1}{t-1} \, dt \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 00:23

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Zitat:

Original von chillerStudent
so?

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} \, dt = -\frac{1}{2} \int\!\frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{4}\int \! \frac{1}{t-1} \, dt \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

wie kommst du nur auf das blödsinnige zweite Integral
Vorschlag: gib dir Mühe und schreibe einfach deine eigenen Partialbruchzerlegungs- Resultate richtig ab..
dann sollte es etwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} \, dt = - \frac{1}{2}\cdot \int \! \frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{4}\cdot \int \! \frac{2t}{t^2+1} \, dt + \frac{1}{2}\cdot \int \! \frac{1}{t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 00:35

chillerStudent

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Wie kommst du auf das Ergebis:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{t}{(t+1)(t^2+1)} \, dt = - \frac{1}{2}\cdot \int \! \frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{4}\cdot \int \! \frac{2t}{t^2+1} \, dt + \frac{1}{2}\cdot \int \! \frac{1}{t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

Wenn ich a,b und c in diese Gleichung einsetze:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{t+1} + \frac{bt+c}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf :

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int\!\frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{t}{t^2-1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t^2-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

Edit:

Ok. ich hab nichts falsch gemach. das ist das gleiche.

Aber wenn man das hier zusammenfasst: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int \! \frac{t}{t^2-1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t^2-1} \, dt \end{eqnarray*}$

kommt man doch auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int\!\frac{t+1}{t^2+1} = \frac{1}{4}\int\! \frac{1}{t-1} \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 00:48

original

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unglücklich

vergiss es

wie willst du denn von $\begin{eqnarray*} \frac{bt+c}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

mit b und c = 1/2

auf 2 Brüche kommen, die im Nenner (das ist unter dem Strich) plötzlich zB Minus-Zeichen enthalten?

Wink

Wink

12.03.2012, 00:52

chillerStudent

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ich habe gekürzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{t+1}{t^2+1} = \frac{1}{t-1} \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 00:56

chillerStudent

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Misst..

Nehme alles zurück. Wir bleiben bei
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int\!\frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{t}{t^2-1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t^2-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Sorry

12.03.2012, 01:10

original

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unglücklich

ist doch (mit den Minuszeichen im Nenner) immer noch falsch geschockt

geschockt

12.03.2012, 01:15

chillerStudent

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ohh mann.. Forum Kloppe

Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int\!\frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{t}{t^2+1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

Was nun ? Was mache ich mit den Grenzen? kann ich für unendlich x einsetzen?

12.03.2012, 01:20

Crisp

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Was ist x?

PS: Entschuldige, dass ich so in den Thread platze, original Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2012, 01:31

original

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Zitat:

Original von chillerStudent

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int\!\frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{4}\int \! \frac{2t}{t^2+1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

Was nun ? Was mache ich mit den Grenzen? kann ich für unendlich x einsetzen?

zuerst solltest du nun die Stammfunktionen ermitteln
das könnte dann vielleicht ungefähr so aussehen:

$\begin{eqnarray*} F(t)= \frac{1}{4} \cdot \left[ln(\frac{t^2+1}{t^2+2t+1}) +2\cdot arctan(t) \right] \end{eqnarray*}$

und dann kannst du das bestimmte Integral F(b)-F(a) untersuchen auf
Grenzwert für a-> 0 und b -> +oo

du wirst ein schön endliches Ergebnis finden (Archimedes würde sich freuen)
ok?

@Crisp :
darfst gerne platzen - ich bin eh jetzt weg Wink

Wink

12.03.2012, 01:31

chillerStudent

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ich vermute, dass ich am Ende den Grenzwert berechnen muss. Aber da ich mit unendlich wenig rechnen kann, war mein gedanke, unendlich durch x zu ersetzen, dann zu schluss x gegen unendlich streben zu lassen.

12.03.2012, 07:48

chillerStudent

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(t)= \frac{1}{4} \cdot \left[ln(\frac{t^2+1}{t^2+2t+1}) +2\cdot arctan(t) \right] \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf dein Nenner?

Wenn ich davon die das Integral berechne:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int\!\frac{1}{t+1} \, dt + \frac{1}{4}\int \! \frac{2t}{t^2+1} \, dt + \frac{1}{2}\int \! \frac{1}{t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf :

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{2}ln(t+1)+\frac{1}{4}ln(t^2+1)+\frac{1}{2}arctan(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(ln(t^2+1)-2ln(t+1)+2arctan(t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(ln(\frac{t^2+1}{t+1})+2arctan(t) ) \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 09:50

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Zitat:

Original von chillerStudent

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(t)= \frac{1}{4} \cdot \left[ln(\frac{t^2+1}{t^2+2t+1}) +2\cdot arctan(t) \right] \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf dein Nenner?

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(ln(t^2+1)-2ln(t+1)+2arctan(t)) \end{eqnarray*}$
................................................................................... Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(ln(\frac{t^2+1}{t+1})+2arctan(t) ) \end{eqnarray*}$
......................... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(ln(\frac{t^2+1}{(t+1)^2})+2arctan(t) ) = ...... \end{eqnarray*}$

........................... Wink

Wink

12.03.2012, 10:20

chillerStudent

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Wink

Wink

Oh man. Hab die -2 vor dem log übersehen. Ok, verstanden bis jetzt

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(ln(\frac{t^2+1}{(t+1)^2})+2arctan(t) ) = ...... \end{eqnarray*}$

mhh was nun? Das hier?

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{4}(ln(\frac{t^2+1}{(t+1)^2})+2arctan(t) ) \right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray*}$

Zitat:

und dann kannst du das bestimmte Integral F(b)-F(a) untersuchen auf Grenzwert für a-> 0 und b -> +oo

12.03.2012, 10:44

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was nun? ->

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \left\{ \left[\frac{1}{4}(ln(\frac{t^2+1}{t^2+2t+1})+2arctan(t) ) \right]_{0}^{b}\right\} = ? \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 11:01

chillerStudent

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wenn ich rechne F(0)-F(b) komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} - \frac{\pi }{4} =\frac{1-\pi }{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \frac{b^2+1}{(b+1)^2} =0 \end{eqnarray*}$ << Ist das richtig? Edit: Ist falsch! = 1

12.03.2012, 15:54

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Zitat:

Original von chillerStudent
wenn ich rechne F(0)-F(b) komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} - \frac{\pi }{4} =\frac{1-\pi }{4} \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

- wie das?

- ausserdem solltest du doch F(b)-F(0) rechnen?

- erste Hilfe: ln(1) = 0

- versuch es nochmal..

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