Erwartungswert berechnen

12.03.2012, 09:25

Thanquol4711

Erwartungswert berechnen

Meine Frage:
Hi

Ich hätte folgendes Problem, vllt könnte mir wer helfen:

Yi ist normalverteil N(0,Sigma^2)

Zeige das:
$\begin{eqnarray*} E(W)=n mit W=\frac{1}{sigma^2}*\sum\limits_{i=1}^n Y_{i}^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe mir folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} VAR(X)=E(X^2) - E(X)^2 E(W) = E(\frac{1}{sigma^2}*\sum\limits_{i=1}^n Y_{i}^2) = = E(\frac{1}{sigma^2} * (n *E(Y_{i})^2)) = = E(\frac{1}{E(Y_{i})^2 - E(Y_{i})^2} * (n *E(Y_{i})^2)) \end{eqnarray*}$

Kann es sein das E(Y_{i})^2 gleich 0 ist?. Ist ja der quadrierte Erwartungswert. Und der Erwartungswert bei einer Normalverteilung ist 0?? Dann kommt mir aber beim Ergebnis auch 0 raus und nicht n :-(

Thx!

12.03.2012, 09:37

thanquol

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RE: Erwartungswert berechnen
Ah hab schon meinen Fehler. Es gehört Summe (E(Y^2)) und nicht von E(Y)^2
Somit
$\begin{eqnarray*} E(W) = E(\frac{1}{sigma^2}*\sum\limits_{i=1}^n Y_{i}^2) = = \frac{1}{sigma^2} * (n *E(Y_{i}^2)) = \end{eqnarray*}$
E(Y)^2 müsste null sein und E(Y^2) ist irgend eine Konstante
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{E(Y_{i})^2 - 0} * (n *E(Y_{i}^2)) = n \end{eqnarray*}$

Kann mir vllt jemand weiterhelfen und sagen wie man beweist, dass W Chi Quadrat verteilt ist (Xi^{2})?

12.03.2012, 09:47

HAL 9000

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Deine Symbolik ist ziemlich fahrlässig, auch teilweise noch in deinem letzten Beitrag:

Mal schreibst du das richtige $\begin{eqnarray*} E(Y_i^2) \end{eqnarray*}$ , mal aber auch das missdeutbare $\begin{eqnarray*} E(Y_i)^2 \end{eqnarray*}$ . Bleib lieber bei dem ersten, und wenn es stattdessen aber um $\begin{eqnarray*} (E(Y_i))^2 \end{eqnarray*}$ gehen sollte, dann schreib es besser auch so mit diesen zusätzlichen Klammern - sicher ist sicher.

12.03.2012, 20:05

thanquol

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RE: Erwartungswert berechnen
Danke, du hast recht muss ich mir angewöhnen zur Sicherheit. Steht aber auch in manchen Lehrbüchern bzw Skripten Big Laugh

Hab mir gedacht, das ein Lösungsansatz wäre einmal zu zeigen, dass Yi normalverteilt ist.
Aber wie bzw bin ich am richtigen Weg?

13.03.2012, 07:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von thanquol
Hab mir gedacht, das ein Lösungsansatz wäre einmal zu zeigen, dass Yi normalverteilt ist.

Jetzt kommst du aber vollkommen durcheinander: Das ist hier die Voraussetzung, die musst du nicht zeigen. unglücklich

13.03.2012, 07:40

thanquol

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Ah hab was verdreht, ich meinte zu beweisen das W (nicht Yi Big Laugh

) normalverteilt ist.

Da ja nämlich jede Summe quadrierter normalverteilter Zufallszahlen Chi Quadrat verteilt ist.

13.03.2012, 10:35

HAL 9000

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Ich verstehe das so, dass es dir jetzt um diesen Teil geht

Zitat:

Original von thanquol
Kann mir vllt jemand weiterhelfen und sagen wie man beweist, dass W Chi Quadrat verteilt ist (Xi^{2})?

nur um das mal deutlich festzuhalten. Augenzwinkern

Da gibt es verschiedene Methoden: Vollständige Induktion unter Benutzung der Faltung im Induktionsschritt, bezogen auf $\begin{eqnarray*} (Y_1^2+\ldots+Y_{n-1}^2)+Y_n^2 \end{eqnarray*}$ . Man kann aber auch über die Laplacetransformierten der Zufallsgrößen gehen, sofern ihr damit schon gearbeitet habt?

13.03.2012, 13:47

thanquol

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Also würdest du sagen das mein Ansatz richtig ist?

Mit der Vollständigen Induktion mussten wir schonmal einen Beweis machen, das ist aber schon ein bisschen her Big Laugh

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